Cuando $DH$ no es paralelo a $BC$.
Si la recta paralela a $BC$ por H divide al plano talque A quede en el mismo semiplano respecto a D:
Sea $X$ la intersección de las rectas $DH$ y $BC$.
En virtud de que las cevianas $DC,HB,AG$ concurrentes no es muy dificil ver que $G,X$ son los conjugados armónicos con respecto a los puntos $B,C$ (no es muy complicado, solo Ceva y Menelao).
Conclusión directa que $(X,C,G,B)$ es una división armónica y por Circunferencia de Apolonio $\angle CDG=\angle CDH$ como se requería.

Los demás casos son similares.

Cuando $DH\parallel BC$ por Teorema de Ceva notamos que G punto medio del segmento $BC$.
Si $DG$ corta a $AC$ en Y más cercano a C que a A, entonces $(YCHA)$ son puntos armónicos y se concluye como en el caso ya mostrado.
Si $DG$ corta a $AC$ en $Y^{\prime }$ más cercano a A que a C, entonces $(Y^{\prime }AHC)$ son puntos armónicos.
De aquí que $\angle HDA=\angle AD{Y}^{\prime }=\angle BDG\Rightarrow \angle CDG=90-\angle BDG=\angle CDH$.

Nota: Ver https://foro.elnumerodeoro.cl/d/48-division-armonica
Editado. Me faltaron algunos casos, pero la idea se mantiene.