Cuando DH no es paralelo a BC.
Si la recta paralela a BC por H divide al plano talque A quede en el mismo semiplano respecto a D:
Sea X la intersección de las rectas DH y BC.
En virtud de que las cevianas DC,HB,AG concurrentes no es muy dificil ver que G,X son los conjugados armónicos con respecto a los puntos B,C (no es muy complicado, solo Ceva y Menelao).
Conclusión directa que (X,C,G,B) es una división armónica y por Circunferencia de Apolonio \angle{CDG}=\angle{CDH} como se requería.
Los demás casos son similares.
Cuando DH\parallel BC por Teorema de Ceva notamos que G punto medio del segmento BC.
Si DG corta a AC en Y más cercano a C que a A, entonces (YCHA) son puntos armónicos y se concluye como en el caso ya mostrado.
Si DG corta a AC en Y' más cercano a A que a C, entonces (Y'AHC) son puntos armónicos.
De aquí que \angle{HDA}=\angle{ADY'}=\angle{BDG}\Rightarrow \angle{CDG}=90-\angle{BDG}=\angle{CDH}.
Nota: Ver https://foro.elnumerodeoro.cl/d/48-division-armonica
Editado. Me faltaron algunos casos, pero la idea se mantiene.
