Determinar cuál es mayor

Buster

Determinar cuál de los dos números \sqrt{c+1}-\sqrt{c} ó \sqrt{c}-\sqrt{c-1} es mayor para todo c\ge1.

Canadian Mathematical Olympiad 1969 P2

hamon

c^{2}-1<c^{2}
\sqrt{c^{2}-1}<c
2\sqrt{c^{2}-1}<2c
2\sqrt{c^{2}-1}+2c+1-1<2c+2c
2\sqrt{(c+1)(c-1)}+(c+1)+(c-1)<4c
(\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1})^{2}<4c
\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}<2\sqrt{c}=\sqrt{c}+\sqrt{c}
\sqrt{c+1}-\sqrt{c}<\sqrt{c}-\sqrt{c-1}
QED La segunda expresión es mayor que la primera, para c mayor o igual a 1.

Saludos!

impure

Perfecto, a resueltos porfa :

Buster

Cómo la función raíz cuadrada es cóncava, entonces:

\ sqrt{\frac{c+1+c-1}{2}} \geq \frac{\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}}{2}

2\sqrt{c} \geq \sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}

\sqrt{c}-\sqrt{c-1} \geq \sqrt{c+1}-\sqrt{c}

blackjokerǃ

Cómo la función raíz cuadrada es cóncava, entonces:

\sqrt{\frac{c+1+c-1}{2}} \geq \frac{\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}}{2}

Otra forma de obtener esta desigualdad es aplicar directamente la desigualdad C\ge A (también conocida como la desigualdad entre las medias cuadrática y aritmética) a los reales positivos \sqrt{c+1} y \sqrt {c-1}

hamon

Cómo la función raíz cuadrada es cóncava, entonces:

\sqrt{\frac{c+1+c-1}{2}} \geq \frac{\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}}{2}

2\sqrt{c} \geq \sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}

\sqrt{c}-\sqrt{c-1} \geq \sqrt{c+1}-\sqrt{c}

eso es Jensen? wow media solucion en 3 lineas xD

impure

No es jensen... lee lo que dijo el ricardo en su post :

Buster

Es la definición de concavidad de una función (con [tex]\lambda=\frac{1}{2}[/tex]). Jensen es una generalización de esto para más de dos elementos.

hamon

Es la definición de concavidad de una función (con \lambda=\frac{1}{2}). Jensen es una generalización de esto para más de dos elementos.

aah gracias! intentaré leer sobre ese teorema, esta interesante

Saludos!