Medianas

sí-síelresidente

Necesito algun hint para resolver este problema, o una parte de él. Opino que no se ve tan difícil, pero mi poco manejo en geometría no me permite sacarlo:

En un triangulo \triangle ABC con medianas AD,\ BE y CF, sea m=AD+BE+CF, y sea s=AB+BC+CA Demuestre que:

\dfrac{3s}{2}>m> \dfrac{3s}{4}

Yo con desigualdad triángular demostre que
\dfrac{3s}{2}>m

Ahora lo que me falta demostrar es
m>\dfrac{3s}{4}

Algún Hint?

sí-síelresidente

: que le pasó al latex?

s.e.puelmamoya

Finalmente estamos con LaTeX, finalmente puedo ver claramente tu consulta. Para quien no ha visto el problema, aclaro que fue dado un triángulo, donde s es el perímetro y m es la suma de la longitud de las medianas (medianas = segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto).

No sé si ya tienes solución para este problema, no sé si todavía estás interesado en la solución. En cualquier caso, entregaré algunas indicaciones.

Tienes que demostrar la doble desigualdad. Ya has resuelto la desigualdad \dfrac{3s}2 >m usando desigualdad triangular (no nos has contado en qué triángulos, pero puedo imaginar en cuáles)

Para la otra desigualdad, usa también desigualdad triangular (imagino que ya estabas pensando en eso). Lo que tal vez estás olvidando, es que las medianas se intersectan en razón 2

Un saludo

impure

Solución

[hide][center][/center]

Sea [tex]\triangle ABC[/tex] con los elementos del enunciado y sean [tex]m_a,m_b,m_c[/tex] las medianas a los lados [tex]a,b,c[/tex] respectivamente. Usaremos desigualdad triangular.

En [tex]\triangle ADB[/tex] obtenemos [tex]c+\frac{a}{2} >m_a[/tex]

En [tex]\triangle BEC[/tex] obtenemos [tex]a+\frac{b}{2} >m_b[/tex]

En [tex]\triangle AFC[/tex] obtenemos [tex]b+\frac{c}{2} >m_c[/tex]

Sumando tenemos [tex]\frac{3s}{2}>m[/tex].

Recordando que las medianas se dividen en razon [tex]2[/tex]

En [tex]\triangle BGC[/tex] obtenemos [tex]\frac{2m_b}{3}+\frac{2m_c}{3} >a[/tex]

En [tex]\triangle CGA[/tex] obtenemos [tex]\frac{2m_c}{3}+\frac{2m_a}{3} >b[/tex]

En [tex]\triangle AGB[/tex] obtenemos [tex]\frac{2m_a}{3}+\frac{2m_b}{3} >c[/tex]

Sumando tenemos [tex]m>\frac{3s}{4}[/tex].[/hide]