Producto Suma

impure

Determine, demostrándolo, el mayor numero que es producto de enteros positivos de suma 1976.

Fuente: IMO 1976 P4

sí-síelresidente

Veamos, haber como esta mi solción:
Sean x,y los números, tenemos

x+y=1976 y x \cdot y=c siendo c el maximo valor

de la primera ecuacion tenemos que y=1976-x y la reemplzamos en la segunda ecuación y nos queda

x\cdot (1976-x)=c
-x^2+1976x-c=0
Donde se forma una ecuacion de segundo grado.
Podemos notar que la parabola se abre hacia abajo, por tanto existe un valor maximo y este esta determinado para el valor x=\dfrac{-b}{2a}

Entonces x=988
y reemplazando en la primera ecuacion y=988

y por tanto el maximo valor c, es 988\cdot 988=976144
____________________________________________________________________

Ahora me di cuenta que puede ser mas de dos numeros parece
pero igual dejo eso, por si acaso

impure

Veamos, haber como esta mi solción:
Sean x,y los números, tenemos

x+y=1976 y x \cdot y=c siendo c el maximo valor

de la primera ecuacion tenemos que y=1976-x y la reemplzamos en la segunda ecuación y nos queda

x\cdot (1976-x)=c
-x^2+1976x-c=0
Donde se forma una ecuacion de segundo grado.
Podemos notar que la parabola se abre hacia abajo, por tanto existe un valor maximo y este esta determinado para el valor x=\dfrac{-b}{2a}

Entonces x=988
y reemplazando en la primera ecuacion y=988

y por tanto el maximo valor c, es 988\cdot 988=976144
____________________________________________________________________

Ahora me di cuenta que puede ser mas de dos numeros parece
pero igual dejo eso, por si acaso

Claro... edita

impure

sí-sí el residente wrote:Veamos, haber como esta mi solción:
Sean x,y los números, tenemos

x+y=1976 y x \cdot y=c siendo c el maximo valor

de la primera ecuacion tenemos que y=1976-x y la reemplzamos en la segunda ecuación y nos queda

x\cdot (1976-x)=c
-x^2+1976x-c=0
Donde se forma una ecuacion de segundo grado.
Podemos notar que la parabola se abre hacia abajo, por tanto existe un valor maximo y este esta determinado para el valor x=\dfrac{-b}{2a}

Entonces x=988
y reemplazando en la primera ecuacion y=988

y por tanto el maximo valor c, es 988\cdot 988=976144
____________________________________________________________________

Ahora me di cuenta que puede ser mas de dos numeros parece
pero igual dejo eso, por si acaso
Claro... edita

Aun espero la edicion :

impure

Notar que no es eficiente considerar el 5 pues 5=3+2 y 3 \cdot 2=6>5.
Notar que no es eficiente considerar numeros n>5, pues de ser asi considerar \left( n-5 \right),3,2 con n=\left( n-5 \right)+3+2 y \left( n-5 \right) \cdot 3 \cdot 2 = 6n-30>n \Leftrightarrow n>6 y 6 no es eficiente pues 6=3+3 y 3 \cdot 3 = 9 >6.
Notar que no es eficiente considerar el 1 pues n= \left( n-1 \right)+1 y n> \left( n-1 \right) \cdot 1=n-1.
Notar que elegir un 4 es equivalente a elegir dos 2's pues 4=2+2 y 4=2 \cdot 2.
Notar que es mas eficiente considerar 3's que 2's pues 3+3=2+2+2 y 3^2=9>8=2^3.
Finalmente notar que 1976=3 \cdot 658 +2 asi el mayor producto es 2 \cdot 3^{658}.

impure

a resuletos porfa y mover a nivel mayor

diegonavarro

Daré una segunda demostracion
Por\ media\ aritmetica,\ media \ geometrica \ sabemos \ que
\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} siendo x,y los numeros buscados
\frac{1976}{2} \ge \sqrt{xy}
Luego
\ 988 \ge \sqrt{xy}
Como se pide que sea el mayor producto posible, lo ideal seria obtener la igualdad
\ 988= \sqrt{xy}
\ xy=976144
Demostrnado lo pedido

impure

no esta correcto. primero qe nada fijate qe al producto qe llegaste es menor qe el mio. por otro lado asumiste qe eran solo 2 numeros. saludos!

diegonavarro

O= no habia cachado qe podian ser mas numeros me pifie feo