impure
Como hint ya que el problema lleva mucho tiempo les recomiendo estudiar la identidad de catalan que es la siguiente:
\sum^n_{i=1}{(\frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i})}=\sum^n_{i=1}{\frac{1}{n+i}}
... obvio demostrarla ya sea por induccion o con trucos algebraicos o como quieran enverdad, tambien notar que 1979 es primo xDD y luego usar la tecnica de suma de extremos.
jumbito
Voy a demostrar la igualdad de Catalán primero.
Definimos S_k=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k} para cada k=1,2,3,....
De aquí que, según la notación adquirida
\displaystyle\sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i} \right)
=S_{2n}-2\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n}\right)
=S_{2n}-S_{n}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i}.\ \blacksquare
Usando la identidad de Catalán en el problema
\frac{p}{q}=\sum_{i=1}^{659} \left( \frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i}\right) +\frac{1}{1319}
=\left( \frac{1}{660}+\frac{1}{661}+...+\frac{1}{1318}\right) +\frac{1}{1319}
Si agrupamos hábilmente las fracciones
\frac{p}{q}=(\frac{1}{660}+\frac{1}{1319})+(\frac{1}{661}+\frac{1}{1318})+...+(\frac{1}{989}+\frac{1}{990})
=1979\cdot \left(\sum_{i=660}^{989} \frac{1}{i\cdot (1979-i)}\right)
=\frac{1979\cdot u}{\prod_{i=660}^{1319} i}
donde u es un entero que queda luego de sumar todas las fracciones.
Ahora usando que 1979 es primo, y que no se cancela con ningun factor del denominador
660\cdot 661\cdot...\cdot 1319, concluimos que 1979 divide a p.\ \blacksquare
