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:O
jumbito
a,b,c >0
. Demuestre que
ab+bc+ca\le a^4+b^4+c^4+\frac{3}{4}
blackjokerǃ
>
a,b,c>0
. Demuestre que
ab+bc+ca\le a^4+b^4+c^4+\frac{3}{4}
Por
A\geq G
se tiene que:
\dfrac{a^4+b^4}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{a^4}{2}+\dfrac{b^4}{2}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\ge 4\cdot \sqrt [4]{\dfrac{a^4b^4}{256}}=ab
Esto implica que
\dfrac{b^4+c^4}{2}+\dfrac{1}{4}\ge bc
y que
\dfrac{c^4+a^4}{2}+\dfrac{1}{4}\ge ca
Sumando las tres desigualdades se obtiene lo pedido.
jumbito
Mover a resueltos, felicitaciones :
s.e.puelmamoya
Otra solución (similar)
ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le(a^4+1/4)+(b^4+1/4)+(c^4+1/4)
La primera desigualdad es "clásica" y la segunda es consecuencia de
(x-1/2)^2\geq0
. No sería necesaria la hipótesis que a,b,c sean positivos
