Notemos que p\neq 2,\; 5 implica que (10,p)=1; por el teorema de Euler tenemos
10^{p-1}\equiv 1 \mod p
Por lo tanto
p|10^{p-1}-1 el cual es de la forma pedida para p\geq2
Se me ocurrió esta solución en la noche pensando una que no fuera la standard, F
Solución 2: Sea
p un primo distinto a 2 y 5. Consideremos la secuencia
9, 99, 999, 999...9, donde el último término tiene
p nueves. Si alguno de estos números es divisible por
p, tenemos lo pedido.
En otro caso, por palomar tenemos que hay dos que dejan el mismo resto módulo
p. Restando el menor al mayor, tenemos un número de la forma
99...900...0 = 9999...9 \cdot 10^k (con
k natural) que es divisible por
p. Esto implica que
p|10^k o
p|999...9. Como
(p, 10) = 1, podemos concluir que existe un número de la forma pedida que es divisible por
p.
Juntando ambos casos, vemos que siempre se puede encontrar un número de la forma pedida divisible por
p para todo
p primo distinto de
2 y
5.
