[quote="Bruno Andrades"]Notemos que [tex]p\neq 2,\; 5[/tex] implica que [tex](10,p)=1[/tex]; por el teorema de Euler tenemos
[center][tex]10^{p-1}\equiv 1 \mod p[/tex][/center]
Por lo tanto
[tex]p|10^{p-1}-1[/tex] el cual es de la forma pedida para [tex]p\geq2[/tex]
Se me ocurrió esta solución en la noche pensando una que no fuera la standard, F
Solución 2: Sea [tex]p[/tex] un primo distinto a 2 y 5. Consideremos la secuencia [tex]9, 99, 999, 999...9[/tex], donde el último término tiene [tex]p[/tex] nueves. Si alguno de estos números es divisible por [tex]p[/tex], tenemos lo pedido.
En otro caso, por palomar tenemos que hay dos que dejan el mismo resto módulo [tex]p[/tex]. Restando el menor al mayor, tenemos un número de la forma [tex]99...900...0 = 9999...9 \cdot 10^k[/tex] (con [tex]k[/tex] natural) que es divisible por [tex]p[/tex]. Esto implica que [tex]p|10^k[/tex] o [tex]p|999...9[/tex]. Como [tex](p, 10) = 1[/tex], podemos concluir que existe un número de la forma pedida que es divisible por [tex]p[/tex].
Juntando ambos casos, vemos que siempre se puede encontrar un número de la forma pedida divisible por [tex]p[/tex] para todo [tex]p[/tex] primo distinto de [tex]2[/tex] y [tex]5[/tex].[/quote]
Meper d0nas ¿
