Notemos que $p\ne 2,5$ implica que $(10,p)=1$; por el teorema de Euler tenemos

$$10^{p-1}\equiv 1\mathrm{mod}p$$

Por lo tanto

$p|10^{p-1}-1$ el cual es de la forma pedida para $p\ge 2$

Bruno Andrades wrote:Notemos que $p\ne 2,5$ implica que $(10,p)=1$; por el teorema de Euler tenemos

$$10^{p-1}\equiv 1\mathrm{mod}p$$

Por lo tanto

$p|10^{p-1}-1$ el cual es de la forma pedida para $p\ge 2$

Se me ocurrió esta solución en la noche pensando una que no fuera la standard, F

Solución 2: Sea $p$ un primo distinto a 2 y 5. Consideremos la secuencia $9,99,999,\mathrm{999...9}$, donde el último término tiene $p$ nueves. Si alguno de estos números es divisible por $p$, tenemos lo pedido.

En otro caso, por palomar tenemos que hay dos que dejan el mismo resto módulo $p$. Restando el menor al mayor, tenemos un número de la forma $\mathrm{99...900...0}=\mathrm{9999...9}\cdot 10^k$ (con $k$ natural) que es divisible por $p$. Esto implica que $p|10^k$ o $p|999...9$. Como $(p,10)=1$, podemos concluir que existe un número de la forma pedida que es divisible por $p$.

Juntando ambos casos, vemos que siempre se puede encontrar un número de la forma pedida divisible por $p$ para todo $p$ primo distinto de $2$ y $5$.