Sean [tex]a, b, c, d, e, f[/tex] los lados del hexágono.
Completamos un triángulo equilátero con las prolongaciones de los lados del hexágono.
Nos quedan triángulos eqquiláteros en los vértices, entonces los ángulos del hexágono son iguales.
Tenemos entonces que:
[tex]a + b + c + d + e + f = 21[/tex]
Sea [tex]l[/tex] el lado del Triangulo.
[tex]l = a + b + c = c + d + e = e + f + a[/tex]
[tex]3 l = 21 + a + c + e[/tex] , por lo tanto
[tex]l = 7 + \frac{a + c + e}{3}[/tex]
Los valores posibles de [tex]a, c[/tex] y [tex]e[/tex] son :
[tex]\cdot a = 1, c = 2[/tex] y [tex]e = 3[/tex] entonces [tex]b = 6, d = 4[/tex] y [tex]f = 5[/tex] y tenemos [tex]l = 9[/tex].
[tex]\cdot a = 1, c = 3[/tex] y [tex]e = 5[/tex] entonces [tex]b = 6, d = 2[/tex] y [tex]f = 4[/tex] y tenemos [tex]l = 10[/tex].
[tex]\cdot a = 2, c = 4[/tex] y [tex]e = 6[/tex] entonces [tex]b = 5, d = 1[/tex] y [tex]f = 3[/tex] y tenemos [tex]l = 11[/tex].
[tex]\cdot a = 4, c = 5[/tex] y [tex]e = 6[/tex] entonces [tex]b = 3, d = 1[/tex] y [tex]f = 2[/tex] y tenemos [tex]l = 12[/tex].
Sea [tex]H[/tex] el área del hexágono,
[tex]H = \frac{\sqrt{3}}{4}(l^2 - (a^2 + c^2 + e^2))[/tex]
Las áreas posibles son:
Para [tex]l = 9[/tex], [tex]H = \frac{67\sqrt{3}}{4}[/tex].
Para [tex]l = 10[/tex], [tex]H = \frac{65\sqrt{3}}{4}[/tex].
Para [tex]l = 11[/tex], [tex]H = \frac{65\sqrt{3}}{4}[/tex].
Para [tex]l = 12[/tex], [tex]H = \frac{67\sqrt{3}}{4}[/tex].
