Desafío 20191105

elnumerodeoro

¿Cuáles son todas las posibles áreas de un hexágono con todos los ángulos iguales y cuyos lados miden 1, 2, 3, 4, 5, 6, en algún orden?

brunoandrades

La respuesta es 0 pues no existe tal hexágono. Procedamos a demostrar esto por contradicción. Supongamos ABCDEF es un hexágono con estás características; ya que todos los ángulos son iguales; podemos concluir que AB // ED, AF//DC y BC//EF; de aquí concluimos por los paralelismos mencionados FD//AC, BF//CE y BD//AE; de nuevo, por paralelismo y ya que todos los ángulos del hexágono son iguales concluimos las siguientes semejanzas; \Delta ABC\simeq\Delta DEF, \Delta ABF\simeq\Delta DEC y \Delta BCD\simeq\Delta EFA; esto nos entrega las siguientes razones

\frac{AB}{DE}=\frac{BC} {EF}; \frac{BC}{EF}=\frac{CD}{AF}; \frac{CD}{AF}=\frac{ED}{AB}

De aquí se obtiene AB = ED, lo cual es una contradicción

elnumerodeoro

Estimado Bruno: Revisa tus conclusiones de paralelismo

elnumerodeoro

Sean a, b, c, d, e, f los lados del hexágono.
Completamos un triángulo equilátero con las prolongaciones de los lados del hexágono.
Nos quedan triángulos eqquiláteros en los vértices, entonces los ángulos del hexágono son iguales.

Tenemos entonces que:
a + b + c + d + e + f = 21
Sea l el lado del Triangulo.
l = a + b + c = c + d + e = e + f + a
3 l = 21 + a + c + e , por lo tanto
l = 7 + \frac{a + c + e}{3}

Los valores posibles de a, c y e son :

\cdot a = 1, c = 2 y e = 3 entonces b = 6, d = 4 y f = 5 y tenemos l = 9.
\cdot a = 1, c = 3 y e = 5 entonces b = 6, d = 2 y f = 4 y tenemos l = 10.
\cdot a = 2, c = 4 y e = 6 entonces b = 5, d = 1 y f = 3 y tenemos l = 11.
\cdot a = 4, c = 5 y e = 6 entonces b = 3, d = 1 y f = 2 y tenemos l = 12.

Sea H el área del hexágono,
H = \frac{\sqrt{3}}{4}(l^2 - (a^2 + c^2 + e^2))

Las áreas posibles son:
Para l = 9, H = \frac{67\sqrt{3}}{4}.
Para l = 10, H = \frac{65\sqrt{3}}{4}.
Para l = 11, H = \frac{65\sqrt{3}}{4}.
Para l = 12, H = \frac{67\sqrt{3}}{4}.