Solución: [spoiler]Consideremos los elementos [tex]\rightarrow[/tex] y [tex]\uparrow[/tex]. Cada camino será denotado por [tex](x_1,x_2,\ldots,x_8,x_9)[/tex], donde cada componente es [tex]\rightarrow[/tex] ó [tex]\uparrow[/tex], esto porque es una condición avanzar 5 espacios a la derecha y 4 espacios hacia arriba.
El problema de contar cuantos caminos hay, equivale a contar de cuantas maneras podemos ordenar los 9 objetos (5 [tex]\rightarrow[/tex], y 4 [tex]\uparrow[/tex]) en cada componente. Esto es [tex]9![/tex], pero tenemos objetos que no podemos distinguir y por ende, caminos que se nos repiten, por lo que tenemos que dividir por la cantidad de las permutaciones de los objetos repetidos, es decir [tex]4!\cdot5![/tex]. Luego el resultado pedido es [tex]\frac{9!}{4\cdot5!}[/tex]
Para su generazalición, dado que en el problema el resultado fue independiente de la cantidad, es fácil notar que haciendo un razonamiento análogo, se llega a que para un tablero de [tex]m\times n[/tex], el resultado será [tex]\dfrac{(m+n)!}{m!\cdot n!}=\binom{m+n}{m}=\binom{m+n}{n}[/tex] (escoja ud el que más le agrade).[/spoiler]
Este problema que apareció en la primera fecha del CMAT, de este año, en cuarto nivel ¿Lo propusiste tu?
Saludos!
