Sea [tex]X=\{x_1,...,x_n\}\subseteq \mathbb{R}[/tex], pruebe que existe un conjunto [tex]S\subseteq X[/tex] no vacio y un entero [tex]m[/tex] tal que
[center][tex]\left|m+\displaystyle\sum_{s\in S}s\right|\le \dfrac{1}{n+1}[/tex][/center]
indicacion: Pensar en partes fraccionarias
Saludos
[tex]\{x\}[/tex] es la parte fraccionaria de [tex]x[/tex]
Suponga lo contrario, es decir:
Para cualquier subconjunto de [tex]X[/tex], la parte fraccional de la suma de sus elementos se encuentra en el intervalo [tex]\left(\frac{1}{n+1},\frac{n}{n+1}\right)[/tex] *
Considere los siguientes [tex]n[/tex] numeros:
[tex]\{x_1\},\{x_1+x_2\},...,\{x_1+x_2+...+x_n\}[/tex]
y los siguientes [tex]n-1[/tex] subintervalos.
[tex]\left(\frac{1}{n+1},\frac{2}{n+1}\right],\left(\frac{2}{n+1},\frac{3}{n+1}\right],...,\left(\frac{n-1}{n+1},\frac{n}{n+1}\right)[/tex].
Por * y por el principio de casillas se sigue que existen [tex]i,j[/tex] con [tex]1\le i\{x_1+...+x_j\}-\{x_1+...+x_i\}=\{x_{i+1}+...+x_j\}[/tex], lo cual contradice *
Caso 2: [tex]\{x_1+...+x_j\}=\{x_1+...+x_i\}+\{x_{i+1}+...+x_j\}-1[/tex]
Aqui tenemos que
[tex]\dfrac{1}{n+1}>\{x_1+...+x_i\}-\{x_1+...+x_j\}=1-\{x_{i+1}+...+x_j\}\Rightarrow[/tex]
[tex]\{x_{i+1}+...+x_j\}>\dfrac{n}{n+1}[/tex]
lo cual tambien contradice *
Finalmente concluimos que * es incorrecto y terminamos
Siento q resolvi el 0.0000001% del problema gracias al hint :
Disculpa diego, porque has terminado el problema ? yo aun no le veo la conclusion clara. Aunque casi lo tienes listo.
Saludos
pero si en ambos casos se contradice *, o necesito decir que si algun subconjunto de [tex]X[/tex] no cumple *, entonces existe un entero [tex]m[/tex] que cumple lo pedido, aunque esto es medio trivial :
habia visto una de las desigualdades para el otro lado, pasar a resueltos.
pd: No podia dar el hint .. use palomar, hubiese sido muy obvio