Concurso vacaciones

pancracio

<inserte introducción aquí> (con Macías no se nos ocurrió nada mejor)

Reglas:
[hide]Solo las personas que van a nivel menor en la academia pueden participar en este nivel.
Habrá un problema diario (por 2 semanas, por lo que serán 14 en total), que se subirá en este post alrededor del medio día. Cada problema tiene 24 horas para ser resuelto.
Las soluciones tienen que ser enviadas por este mismo post, marcando el número del problema.
Solo se le dará puntaje a soluciones completas y bien redactadas.
La primera persona en dar una solución completa tendrá 2 puntos, mientras las siguientes personas que den soluciones completas y distintas a las anteriores tendrán 1 punto.
benjaquezadar y Pancracio revisarán las soluciones, y postearán en caso de haber una completa.
Al finalizar las dos semanas, la persona con más puntos ganará un premio (por anunciar).[/hide]

Problemas anteriores (no dan puntaje)
[hide]Problema 1 (16/07): Se forma una lista de dígitos, escribiendo los naturales del 1 al 2018 uno a continuación del otro:

123456789101112\ldots 2015201620172018

¿Cuántas veces aparece la secuencia "12" en esta lista?

Problema 2 (17/07): Patricio escribe una lista de números. El primero es 25, y luego cada número es la suma de los cuadrados de los dígitos del anterior. ¿Qué número está en la posición 2018?

Problema 3 (18/07): Demuestre que todo triángulo se puede subdividir en triángulos isóceles.

Problema 4 (19/07): Encuentre todas las funciones f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tales que

f(xy) = f(x) + f(y)

para todos x, y \in \mathbb{R}.

Problema 5 (20/07): En el 4° A, cada persona tiene a lo más 3 enemigos. Pruebe que se pueden separar a estas personas en dos grupos, de manera que cada persona tiene a lo más un enemigo en su grupo.
Nota: Si A es enemigo de B, entonces B es enemigo de A.

Problema 6 (21/07) a_1, \cdots, a_n un reordenamiento de los números 1, \cdots, n. Pruebe que si n es impar, entonces el producto (a_1 - 1)(a_2 - 2)\cdots (a_n - n) es par.

Problema 7 (22/07): Determine todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación:

2^x-2^y=1

Problema 8 (23/07): Demuestre que las expresiones 2x+3y, 9x+5y son ambas divisibles por 17 para los mismos valores enteros de x e y.

Problema 9 (24/07): Encuentre todos los pares de naturales a, b con a < b, tales que la suma de los naturales mayores que a y menores que b sea igual a 1998.

Problema 10 (25/07): Determine todos los números naturales n para los cuales el número

2^n +5

es un cuadrado perfecto.

Problema 11 (26/07): Sean A_1= 1, 4, \ldots, y A_2= 9, 16, \ldots dos progresiones aritméticas. Sea S el conjunto de los primeros 2004 términos de cada secuencia. ¿Cuántos números distintos hay en S?

Problema 12 (27/07): El matemático Paul Halmos y su esposa asistieron a una fiesta, junto con otras cuatro parejas. Algunas de las personas presentes se dieron la mano. Por supuesto que nadie se dio la mano a sí mismo, ni tampoco a su esposa o esposo, y ningún par de personas se dio la mano más de una vez. Halmos le preguntó a cada una de las otras nueve personas (incluida su esposa) cuántos apretones de mano habían dado, y le sorprendió que todas las respuestas fueron diferentes. ¿A cuántas personas le dio la mano la esposa de Halmos?

Problema 13 (28/07): Un domador quiere alinear 5 leones y 4 tigres. Sabiendo que un tigre no puede ir detrás de otro. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las fieras? (El domador no distingue un león de otro ni un tigre de otro tigre.)[/hide]

Problema 14 (29/07): Juan juega contra un computador. El computador elige 2018 naturales entre 1 y 10000. Juan en una movida puede restar un número natural k (que puede variar cada movida) a cualquier cantidad de los números que tiene. Juan gana cuando los 2018 números que tiene son 0. ¿En cuántas movidas se puede asegurar que Juan ganará?
(Plazo: Hasta medianoche del 30/07)

Puntajes
[hide]Vicente Castillo: 8
Zuny: 2[/hide]

vicentecastillo

Primero notar que en la lista podemos crear segmentos de la forma ABCD, ya que abarcamos en la lista la sucesion de numeros del 1 al 2018 donde este tiene 4 cifras, y por lo tanto las cifras de cada segmento pueden tomar los valores:

A:{0,1,2,...,8,9}#10 elementos

B:{0,1,2,...8,9} #10 elementos

C:{0,1,2,...8,9} #10 elementos

D:{0,1,2,...8,9} #10 elementos

Ademas el segmento puede tener las siguientes configuraciones dependiendo de la ubicacion de las cifras que conforman el 12: AB12, A12D Y 12CD.

Basados en la cardinalidad de los posibles valores de cada letra, definiremos por prinicipio multiplicativo la cantidad de casos que cumplen en cada configuracion

a)AB12

Aqui hay 10x10x1x1=100 posibilidades de numeros

b)A12D

Aqui hay 10x1x1x10=100 posibilidades

c)12CD

Aqui hay 1x1x10x10=100 posibilidades

Finalmente el total de los numeros 12 en la lista, es la suma de los casos favorables de cada configuracion, es decir, 100+100+100=300 casos

zuny

Notamos que en la secuencia presentada en el enunciado podemos visibilizar cinco formas en las que puede estar presente el segmento 12. Las detallaremos enseguida.

Sea ABC un segmento de tres cifras más amplio que el buscado, entonces, podemos encontrar de las siguientes maneras la susodicha secuencia: A12, o, 12C. En los dos casos descritos, sea A o C pueden tomar desde el 0 hasta el 9 como valor, luego, por principio multiplicativo, el primer caso puede organizarse de 10\cdot 1\cdot 1, y el segundo de 1\cdot 1\cdot 10, luego, por principio aditivo, tenemos que las dos formas se pueden hacer de 20 maneras.

Sea ABCD un segmento de cuatro cifras más amplio que el buscado, entonces, podemos encontrar de las siguientes maneras la susodicha secuencia: AB12, A12D, o 12CD. En el primer caso, debido a que la secuencia sólo llega hasta el 2018, A sólo puede tomar como valor 1 (si tomamos el intervalo del 1000 al 1999), mientras que B puede tomar como valor a todos los dígitos (10 en total), por lo tanto, por principio multiplicativo, esa organización se puede conformar de 1\cdot 10\cdot 1\cdot 1 maneras. Tenemos el caso en el que A toma el valor de 2, luego B se restringe a tomar como valor 0, luego, por principio multiplicativo, sólo hay un número que cumple esa condición. En el segundo caso, A puede tomar un valor, mientras que D puede tomar los 10 dígitos como valor, luego, por principio multiplicativo, nuevamente, esa organización se puede conformar de 1\cdot 1\cdot 1\cdot 10 maneras.
En el último caso, donde 12 está en AB, los dos dígitos restantes, C y D, pueden tomar los 10 dígitos respectivamente como valor, luego, por principio multiplicativo, tenemos que esa organización se puede conformar de 10\cdot10 maneras.

Ahora que especificamos todos los casos, sólo nos queda sumar todas las opciones, 20+11+10+100 maneras, es decir, en total, la secuencia 12 aparece 141 veces en la secuencia principal, no obstante, esta cantidad sólo respecta a la situación en donde separamos la secuencia en sus respectivos números. Sin embargo, no incluye las situaciones en las cuales el segmento buscado está formado por los dígitos de dos números separables diferentes, como por ejemplo la secuencia 201202. Notamos entonces que para que se cumpla esta condición, en una configuración ABC, A tiene que ser 2, y C tiene que ser 1, mientras que B puede tomar como valor los 10 dígitos. Entonces, por principio multiplicativo, tenemos que hay 1\cdot 10\cdot 1 formas de hacer segmentos de ese tipo. De la forma ABCD, debemos, según el razonamiento anterior, tener la siguiente estructura 2BC1, no obstante, debido a que la secuencia sólo llega a 2018, B sólo puede tomar el valor de 0, mientras que C puede tomar 0 o 1. Por consiguiente, sólo hay dos segmentos que nos permiten esa situación.
Del 1 al 99, no obstante, tenemos la secuencia 2122 que sí cumple, y también la del principio, que no se encuentra incluida en ninguna regla antes propuesta.

Finalmente, tomando las 141 veces anteriores, le sumamos las 14 nuevas veces, lo que nos resulta en 155 veces que se repite la secuencia 12 en la principal.

pancracio

Ambas soluciones están incompletas.

vicentecastillo

Problema 2:

Primero calcularé los primeros números de la secuencia

a_1=25 \quad a_2=2^2+5^2=29 \quad a_3=2^2+9^2=85 \quad a_4=8^2+5^2=89 \quad a_5=8^2+9^2=145 \quad a_6=1^2+4^2+5^2=42

a_7 =4^2+2^2=20 \quad a_8=2^2+0^2=4 \quad a_9=4^2=16 \quad a_{10}=1^2+6^2=37 \quad a_{11}=3^2+7^2=58 \quad a_{12}=5^2+8^2=89

a_{13}=8^2+9^2=145 \quad a_{14}=1^2+4^2+5^2=42 \quad a_{15}=4^2+2^2=20 \quad a_{16}=2^2+0^2=2 \qquad ...

Aquí notamos que a_4=a_{12} \quad a_5=a_{13} \quad a_6=a_{14} ... , y también que entramos en un ciclo de 8 números:
89;145;42;20;4;16;37;58

Como buscamos el número en el lugar 2018 de la secuencia y los tres primeros números (25;29;85) no entran en el ciclo, los vamos a omitir para evitar confusiones y ahora buscaremos el número en lugar 2015 (el que equivaldría al puesto 2018 en la secuencia original).

Nótese que 2015 \equiv 7 ( mód 8) lo que implica que el número que va en la posición buscada es el séptimo número del ciclo que mencionamos antes, es decir, el 37.

benjaquezadar

Está bien.

vicentecastillo

Problema 3:

Tenemos un \bigtriangleup ABC cualquiera, donde trazamos alguna de sus alturas, creando dos triángulos rectángulos.

Ahora si nos fijamos en uno de los triángulos rectángulos, podemos ver que si graficamos otro triángulo congruente a este sobre su hipotenusa, obtendremos un cuadrado o un rectángulo, trazando las diagonales del cuadrilátero formado, obtenemos 2 pares de triángulos isósceles (de los cuales dos triángulos pertenecerían al triángulo rectángulo original), ya que en cada uno de los triángulos dos de sus lados van a ser la mitad de alguna diagonal, porque en un cuadrado o en un rectángulo ambas diagonales son iguales; por esto es que si se forma un cuadrado obtendremos triángulos equiláteros, donde de igual forma llegaremos a triángulos isósceles si repetimos el proceso.

Con esto llegamos a que como todo triángulo rectángulo puede expresarse como triángulos isósceles y además todo triángulo puede expresarse como triángulos rectángulos, implica que todo triángulo puede ser subdividido en triángulos isósceles.

pancracio

Problema 3:

Tenemos un [tex]\bigtriangleup ABC[/tex] cualquiera, donde trazamos alguna de sus alturas, creando dos triángulos rectángulos.

Ahora si nos fijamos en uno de los triángulos rectángulos, podemos ver que si graficamos otro triángulo congruente a este sobre su hipotenusa, obtendremos un cuadrado o un rectángulo, trazando las diagonales del cuadrilátero formado, obtenemos 2 pares de triángulos isósceles (de los cuales dos triángulos pertenecerían al triángulo rectángulo original), ya que en cada uno de los triángulos dos de sus lados van a ser la mitad de alguna diagonal, porque en un cuadrado o en un rectángulo ambas diagonales son iguales; por esto es que si se forma un cuadrado obtendremos triángulos equiláteros, donde de igual forma llegaremos a triángulos isósceles si repetimos el proceso.

Con esto llegamos a que como todo triángulo rectángulo puede expresarse como triángulos isósceles y además todo triángulo puede expresarse como triángulos rectángulos, implica que todo triángulo puede ser subdividido en triángulos isósceles.

Con las diagonales en un cuadrado no se forman equilateros, pero la construcción está bien, por lo que la solución está bien

vicentecastillo

Problema 4:

Primero supongamos que x=y=1 luego f(1 \cdot 1)=f(1)+f(1) después f(1)=2f(1) \Rightarrow f(1)=0 (porque la única forma de que z=2z es que z sea 0) y en caso de que x=y=-1 obtenemos que f(-1 \cdot -1)=f(-1)+f(-1) luego f(1)=2f(-1) finalmente 0=2f(-1) \Rightarrow f(-1)=0

Ahora si y= -1 llegamos a quef(x \cdot -1)=f(x)+f(-1) \Rightarrow f(-x)=f(x) es por esto que deducimos que la función se determina según lo que ocurre cuando las variables son positivas. Como trabajamos con \mathbb{R} podemos expresar que x=a^b \quad y=a^c

Reemplazamos y llegamos a que f(a^b \cdot a^c)=f(a^b)+f(a^c)\quad si definimos una nueva función h(b)=a^b obtenemos h(b+c)=h(b)+h(c)

Digamos que h(1)=j entonces si b=c=1 obtendremos h(1+1)=h(1)+h(1) a continuación h(2)=2h(1) \Rightarrow h(2)=2j Podemos conjeturar que f(n)=nj lo que demostraremos por inducción

Si tenemos n=1 : h(1)=j supongamos que para n=i : h(i)=ij entonces para n=i+1 tal que b=1 \quad c=1 \quad h(i+1)=h(i)+h(1) luego h(i+1)=ij+j=j(i+1) como queriamos demostrar.

Es por esto que todas las funciones que cumplen h(b+c)=h(b)+h(c) \quad h(k)=kj con k \in \mathbb{N}

f(x)=a^b=h(b)=bj por lo que todas las funciones que cumplen con el enunciado son las de la forma f(a) log_x

zuny

Problema 4:
Para resolver este problema debemos definir dos cosas con anticipación.

Sea el producto de dos números iguales elevados a potencias diferentes, es decir, a^x \cdot a^y, se sabe entonces, que el resultado de esta operación es a^{x+y}.

Notamos que los exponentes en esta fórmula se comportan de la misma manera que las variables x e y del enunciado (que el producto de ellos, sea igual a su suma). No obstante, vemos que estos exponentes no están por sí sólos en estas situaciones, por lo que para usarlos deberemos presentar la función logarítmica, la cual nos permite obtener el exponente si la expresamos de la siguiente manera: \log_a a^x, lo que nos resultaría en x.

Basándonos en lo recién descrito, la función del enunciado es satisfecha por todas las funciones logarítmicas tales como las siguientes:
f(x) = \log_a a^x
f(y) = \log_a a^y

De la siguiente manera se relaciona con la función del enunciado: \log_a (x \cdot y) = \log_a (x) + \log_a (y).

pancracio

Ambas respuestas son incorrectas.

zuny

P5:
Sea X el conjunto que contiene a las personas que tienen a lo más 3 enemigos, y sea A, B, C y D integrantes de ese conjunto.

Supongamos la situación en la que todos los susodichos integrantes son enemigos entre sí.
Suprimiremos a todos los otros integrantes (aunque no sepamos cuántos son) con el objetivo de no confundirnos y debido a que estos no participan de la enemistad detallada en la suposición.
Expresemos por extensión el conjunto X', el cual contiene a nuestros cuatros integrantes luego de suprimir a los que no hacían parte de la relación interpersonal.
X' ={A, B, C, D}
Notamos que, por enunciado, no se pueden mantener con esa organización pues no cumplen la condición de tener a lo más un enemigo en su grupo, no obstante, podemos organizarlos de la siguiente manera, siendo Z e Y los dos subconjuntos deX':

Z = {A, B}
Y = {C, D}

Notemos que esta configuración es válida pues en cada uno sólo hay un enemigo consigo para cada integrante de esta relación interpersonal. Pero notamos algo mucho más importante, que esta configuración sirve para cualquier número de enemigos que tenga personalmente cualquier integrante, pues en sí lo que importa es la cantidad de personas involucradas en la relación interpersonal, y como en el enunciado ya nos dan un límite superior (a lo más tres) sabemos que el máximo de personas involucradas en la relación de enemistad son 4.
No obstante, mostraremos que para cualquier cantidad de personas, bajo el máximo dado, se pueden organizar los integrantes de manera que se cumpla la condición necesaria del enunciado.

Supongamos que A tiene sólo dos enemigos, B y C, y que estos enemigos son enemigos entre sí (aunque no lo fueran, también se cumple la organización). Podemos notar que al ser 3 personas involucradas, y que basándonos en esto, podemos organizarlas de las siguiente maneras:
Z = {A, B}
Y = C

Notamos que es inherente al número de enemigos, pues, en esta situación, sólo tenemos que tener en cuenta que en Z hayan dos enemigos, o uno si es que en Y hay dos, y basándonos en esto, el resto en Y.

Es evidente que si sólo hay dos personas involucradas en la relación interpersonal, la organización puede ser cualquiera, pues si los dos enemigos quedan en el mismo grupo aún se cumple la condición.

Más evidente aún es que si la persona no es enemiga de nadie, puede estar incluida en cualquiera de los dos grupos pues no será afectada por ninguna enemistad externa.

De esta manera demostramos que basándonos en las cantidad de personas involucradas en la relación, se pueden separar las personas de manera que cada una quede con a lo más un enemigo consigo en el grupo.

pancracio

P5:

Sea [tex]X[/tex] el conjunto que contiene a las personas que tienen a lo más 3 enemigos, y sea [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] y [tex]D[/tex] integrantes de ese conjunto.

Supongamos la situación en la que todos los susodichos integrantes son enemigos entre sí.

Suprimiremos a todos los otros integrantes (aunque no sepamos cuántos son) con el objetivo de no confundirnos y debido a que estos no participan de la enemistad detallada en la suposición.

Expresemos por extensión el conjunto [tex]X'[/tex], el cual contiene a nuestros cuatros integrantes luego de suprimir a los que no hacían parte de la relación interpersonal.

[tex]X' ={A, B, C, D}[/tex]

Notamos que, por enunciado, no se pueden mantener con esa organización pues no cumplen la condición de tener a lo más un enemigo en su grupo, no obstante, podemos organizarlos de la siguiente manera, siendo [tex]Z[/tex] e [tex]Y[/tex] los dos subconjuntos de[tex]X'[/tex]:

[tex]Z = {A, B}[/tex]

[tex]Y = {C, D}[/tex]

Notemos que esta configuración es válida pues en cada uno sólo hay un enemigo consigo para cada integrante de esta relación interpersonal. Pero notamos algo mucho más importante, que esta configuración sirve para cualquier número de enemigos que tenga personalmente cualquier integrante, pues en sí lo que importa es la cantidad de personas involucradas en la relación interpersonal, y como en el enunciado ya nos dan un límite superior (a lo más tres) sabemos que el máximo de personas involucradas en la relación de enemistad son 4.

No obstante, mostraremos que para cualquier cantidad de personas, bajo el máximo dado, se pueden organizar los integrantes de manera que se cumpla la condición necesaria del enunciado.

Supongamos que [tex]A[/tex] tiene sólo dos enemigos, [tex]B[/tex] y [tex]C[/tex], y que estos enemigos son enemigos entre sí (aunque no lo fueran, también se cumple la organización). Podemos notar que al ser 3 personas involucradas, y que basándonos en esto, podemos organizarlas de las siguiente maneras:

[tex]Z = {A, B}[/tex]

[tex]Y = C[/tex]

Notamos que es inherente al número de enemigos, pues, en esta situación, sólo tenemos que tener en cuenta que en [tex]Z[/tex] hayan dos enemigos, o uno si es que en [tex]Y[/tex] hay dos, y basándonos en esto, el resto en [tex]Y[/tex].

Es evidente que si sólo hay dos personas involucradas en la relación interpersonal, la organización puede ser cualquiera, pues si los dos enemigos quedan en el mismo grupo aún se cumple la condición.

Más evidente aún es que si la persona no es enemiga de nadie, puede estar incluida en cualquiera de los dos grupos pues no será afectada por ninguna enemistad externa.

De esta manera demostramos que basándonos en las cantidad de personas involucradas en la relación, se pueden separar las personas de manera que cada una quede con a lo más un enemigo consigo en el grupo.

Está bien.

zuny

P6:

Para resolver el problema nos enfocaremos en el último factor de la secuencia de productos.

Si [tex]n[/tex] es impar, tenemos dos opciones. La primera es que [tex]a_n[/tex] tenga la misma paridad que [tex]n[/tex].

Basándonos en esto, se sabe por paridad que la suma de dos números de idéntica paridad tiene un resultado par, y que la resta es la suma de un número por otro negativo, podemos representar el último factor de la siguiente manera:

[tex]...(impar + (-impar))[/tex]

[tex]...(par)[/tex]

Al ocurrir esto, sabemos también por paridad que cualquier número, sea impar o par, multiplicado por un par resulta en un par, por lo tanto, al ser este último factor, par, el producto de toda la secuencia será par.

El segundo caso es que [tex]a_n[/tex] sea par, en ese caso el resultado de la resta será impar, no obstante, se sabe que existen, por principio multiplicativo, 4 formas en las que se puede encontrar la paridad de un factor de manera interna: par - par, impar - impar, par- impar, o impar - par. Como necesitamos otra configuración interna que resulte en impar, tenemos dos opciones -impar, o impar-par. Sabemos que existen al menos tres factores (el factor que incluye a 1, el factor que incluye a [tex]n[/tex], y el factor formado por un número entre ellos dos, cuya cantidad sólo podemos asegurar que es una) por lo que se puede deducir que hay más de alguno que comparte la paridad del último factor. Al tener la misma paridad, el resultado será par. Luego, por el mismo razonamiento anterior, el producto de toda la secuencia es par.

vicentecastillo

Problema 6:

Tenemos [tex](a_1-1)(a_2-2)...(a_n-n)[/tex] con [tex]n[/tex] impar, definiremos [tex]n=2k+1[/tex], de lo que podemos concluir que habrá [tex]k+1[/tex] impares y [tex]k[/tex] pares entre [tex]1[/tex] y [tex]n[/tex]

Como el producto final es la diferencia de algún número entre [tex]1[/tex] y [tex]n[/tex] con otro numero entre [tex]1[/tex]y [tex]n[/tex] teniendo en cuenta que hay un número par menos que impares, por palomar tenemos que siempre va a existir un caso en el que tengamos la diferencia entre dos números impares en algún factor, lo cual resulta en un par. Finalmente para que un producto sea par al menos uno de sus factores debe serlo y como en este caso siempre va a haber al menos un factor par, el producto siempre lo será.

pancracio

Problema 6:

Tenemos [tex](a_1-1)(a_2-2)...(a_n-n)[/tex] con [tex]n[/tex] impar, definiremos [tex]n=2k+1[/tex], de lo que podemos concluir que habrá [tex]k+1[/tex] impares y [tex]k[/tex] pares entre [tex]1[/tex] y [tex]n[/tex]

Como el producto final es la diferencia de algún número entre [tex]1[/tex] y [tex]n[/tex] con otro numero entre [tex]1[/tex]y [tex]n[/tex] teniendo en cuenta que hay un número par menos que impares, por palomar tenemos que siempre va a existir un caso en el que tengamos la diferencia entre dos números impares en algún factor, lo cual resulta en un par. Finalmente para que un producto sea par al menos uno de sus factores debe serlo y como en este caso siempre va a haber al menos un factor par, el producto siempre lo será.

Está bien.

P6:

Para resolver el problema nos enfocaremos en el último factor de la secuencia de productos.

Si [tex]n[/tex] es impar, tenemos dos opciones. La primera es que [tex]a_n[/tex] tenga la misma paridad que [tex]n[/tex].

Basándonos en esto, se sabe por paridad que la suma de dos números de idéntica paridad tiene un resultado par, y que la resta es la suma de un número por otro negativo, podemos representar el último factor de la siguiente manera:

[tex]...(impar + (-impar))[/tex]

[tex]...(par)[/tex]

Al ocurrir esto, sabemos también por paridad que cualquier número, sea impar o par, multiplicado por un par resulta en un par, por lo tanto, al ser este último factor, par, el producto de toda la secuencia será par.

El segundo caso es que [tex]a_n[/tex] sea par, en ese caso el resultado de la resta será impar, no obstante, se sabe que existen, por principio multiplicativo, 4 formas en las que se puede encontrar la paridad de un factor de manera interna: par - par, impar - impar, par- impar, o impar - par. Como necesitamos otra configuración interna que resulte en impar, tenemos dos opciones -impar, o impar-par. Sabemos que existen al menos tres factores (el factor que incluye a 1, el factor que incluye a [tex]n[/tex], y el factor formado por un número entre ellos dos, cuya cantidad sólo podemos asegurar que es una) por lo que se puede deducir que hay más de alguno que comparte la paridad del último factor. Al tener la misma paridad, el resultado será par. Luego, por el mismo razonamiento anterior, el producto de toda la secuencia es par.

Esta está incompleta.

zuny

P7:

Se sabe de antemano que si la diferencia de dos números es 1 es porque estos números son consecutivos, y que si es positiva el minuendo es mayor que el sustraendo.

Vemos las 3 primeras potencias de 2.
Para 2^0 = 1, para 2^1 = 2, para 2^2 = 4, para 2^3 = 8.

Notamos que sólo hay dos potencias consecutivas, pues luego las valores tienen una diferencia del doble.
De esta manera podemos deducir que la única respuesta es que x= 1 e y = 0, pues son las únicas potencias cuyos resultados son consecutivos, y de esta manera tenemos lo siguiente:
2^1 - 2^0
2 - 1
1

Cuyo par de valores de exponente es el único que satisface la igualdad.

vicentecastillo

Problema 7:

En primer lugar, su diferencia es 1 por lo que son consecutivos.
Podemos asegurar que sus exponentes deben ser consecutivos, porque sino la diferencia mínima sería 2^2-2^0 = 3 lo que es mayor que 1 (Tanto la potencia en sí como los exponentes son números consecutivos).

Ahora definamos:
x-y=1\quad 2^x=a \quad 2^y=a-1
log_2a-log_2(a-1)=1 \Leftrightarrow log_2(\frac{a}{a-1})=1 \Rightarrow 2^1=\frac{a}{a-1} \Leftrightarrow 2(a-1)=a \quad 2a-2=a \quad a=2 \Rightarrow x=1

Finalmente tenemos que 2-2^y=1 \quad 2^y=1 \Rightarrow y=0 es decir el par de números que cumple es x=1 \quad y=0

pancracio

P7:

Se sabe de antemano que si la diferencia de dos números es 1 es porque estos números son consecutivos, y que si es positiva el minuendo es mayor que el sustraendo.

Vemos las 3 primeras potencias de 2.

Para [tex]2^0[/tex] = 1, para [tex]2^1[/tex] = 2, para [tex]2^2[/tex] = 4, para [tex]2^3[/tex] = 8.

Notamos que sólo hay dos potencias consecutivas, pues luego las valores tienen una diferencia del doble.

De esta manera podemos deducir que la única respuesta es que [tex]x= 1[/tex] e [tex]y = 0[/tex], pues son las únicas potencias cuyos resultados son consecutivos, y de esta manera tenemos lo siguiente:

[tex]2^1 - 2^0[/tex]

[tex]2 - 1[/tex]

[tex]1[/tex]

Cuyo par de valores de exponente es el único que satisface la igualdad.

Está incompleto.

Problema 7:

Puesto que su diferencia es [tex]1[/tex] definamos

Sea [tex]2^x=a \quad 2^y=a-1[/tex]

Ahora reemplazamos en la ecuación del enunciado y obtenemos [tex]log_2a-log_2(a-1)=1 \Leftrightarrow log_2(\frac{a}{a-1})=1 \Rightarrow 2^1=\frac{a}{a-1} \Leftrightarrow 2(a-1)=a \quad 2a-2=a \quad a=2 \Rightarrow x=1[/tex]

Finalmente tenemos que [tex]2-2^y=1 \quad 2^y=1 \Rightarrow y=0[/tex] es decir el par de números que cumple es [tex]x=1 \quad y=0[/tex]

Está mal planteado

zuny

P10:
Definimos primeramente que un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero.
De la expresión del enunciado podemos deducir dos condiciones: la primera se refiere a que el cuadrado perfecto resultante debe ser impar, pues el cuadrado de un número par (2^n) es par y al ser aumentado en un número impar resulta en un impar.
La segunda se deduce de lo siguiente.
Sea a el cuadrado perfecto resultante, tenemos lo siguiente:
2^n + 5 = a / +(-5)
2^n = a - 5

Lo anterior se traduce en que si disminuimos en 5 el cuadrado perfecto final nos resultará en una potencia del número dos, en otras palabras, que la distancia entre este cuadrado perfecto final y la potencia de 2 es de 5 números.
Mediante el uso de la fórmula para encontrar los cuadrados perfectos siguientes a uno dado (Sea x el cuadrado perfecto dado, el cuadrado perfecto consecutivo se obtendrá mediante lo siguiente, x+ ((2* la raíz del siguiente cuadrado perfecto) -1). Sabemos que el cuadrado perfecto dado debe ser una potencia del número 2, no obstante, ((2* la raíz del siguiente cuadrado perfecto) -1) debe ser igual a 5, pues esta expresión se refiere a básicamente la distancia entre los dos cuadrados perfectos. Sabemos que todo número tiene exactamente un cuadrado perfecto, y que como primer cuadrado debemos tomar una potencia de dos. Probaremos con el cuadrado perfecto del número 2, siendo la raíz del cuadrado siguiente el número consecutivo a la raíz del cuadrado perfecto que acabamos de usar. Por consiguiente tenemos lo siguiente:
4 + (2*3)-1
4 + 5
9

Debido al resultado de la expresión (cumple las dos condiciones indicadas al principio) tenemos que n = 2 (el exponente del al que hay que elevar el número) satisface la expresión.

Dijimos anteriormente que cada número tiene sólamente un cuadrado perfecto, por lo tanto, el resultado de la expresión que debe dar 5 es única pues la raíz cuadrada del cuadrado perfecto recién probado es también es única.
De esta manera, no hay otro número que nos permita obtener una distancia de 5 números entre los dos cuadrados perfectos, es decir, la expresión sólo se satisface cuando n = 2

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