Concurso vacaciones: Página 2

Concurso vacaciones

benjaquezadar

P10:

Definimos primeramente que un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero.

De la expresión del enunciado podemos deducir dos condiciones: la primera se refiere a que el cuadrado perfecto resultante debe ser impar, pues el cuadrado de un número par ([tex]2^n[/tex]) es par y al ser aumentado en un número impar resulta en un impar.

La segunda se deduce de lo siguiente.

Sea [tex]a[/tex] el cuadrado perfecto resultante, tenemos lo siguiente:

[tex]2^n + 5 = a / +(-5)[/tex]

[tex]2^n = a - 5[/tex]

Lo anterior se traduce en que si disminuimos en 5 el cuadrado perfecto final nos resultará en una potencia del número dos, en otras palabras, que la distancia entre este cuadrado perfecto final y la potencia de 2 es de 5 números.

Mediante el uso de la fórmula para encontrar los cuadrados perfectos siguientes a uno dado (Sea [tex]x[/tex] el cuadrado perfecto dado, el cuadrado perfecto consecutivo se obtendrá mediante lo siguiente, [tex]x+ ((2*[/tex] la raíz del siguiente cuadrado perfecto[tex]) -1)[/tex]. Sabemos que el cuadrado perfecto dado debe ser una potencia del número 2, no obstante, [tex]((2*[/tex] la raíz del siguiente cuadrado perfecto[tex]) -1)[/tex] debe ser igual a 5, pues esta expresión se refiere a básicamente la distancia entre los dos cuadrados perfectos. Sabemos que todo número tiene exactamente un cuadrado perfecto, y que como primer cuadrado debemos tomar una potencia de dos. Probaremos con el cuadrado perfecto del número 2, siendo la raíz del cuadrado siguiente el número consecutivo a la raíz del cuadrado perfecto que acabamos de usar. Por consiguiente tenemos lo siguiente:

[tex]4 + (2*3)-1[/tex]

[tex]4 + 5[/tex]

[tex]9[/tex]

Debido al resultado de la expresión (cumple las dos condiciones indicadas al principio) tenemos que [tex]n = 2[/tex] (el exponente del al que hay que elevar el número) satisface la expresión.

Dijimos anteriormente que cada número tiene sólamente un cuadrado perfecto, por lo tanto, el resultado de la expresión que debe dar 5 es única pues la raíz cuadrada del cuadrado perfecto recién probado es también es única.

De esta manera, no hay otro número que nos permita obtener una distancia de 5 números entre los dos cuadrados perfectos, es decir, la expresión sólo se satisface cuando [tex]n = 2[/tex]

Está incompleto, saludos.

vicentecastillo

Problema 10:

En primer lugar notemos que el cuadrado perfecto (k^2) será un número impar, ya que una potencia de 2 es un número par y le añadimos un número impar, a menos que estemos en el caso específico de una potencia de 2 impar, 2^0, de ser así tendríamos que 2^0+5=6=k^2 aquí podemos ver claramente que k no es entero, por lo que nos enfocaremos en el primer caso planteado.

Ahora rescataremos los dos casos posible para n, 0<n \leq 2 \vee n>2 también definiremos que k^2=(2a+1)^2

i)Aquí tenemos n=1 \vee n=2 de lo que nos surge 2^2+5=(2a+1)^2 \Leftrightarrow 9=(2a+1)^2 lo cual es cierto y 2^1+5=(2a+1)^2 \Leftrightarrow 7=(2a+1)^2 lo que es un cuadrado, pero no perfecto, entonces no nos sirve.
ii)Aquí como n>2 lo expresaremos como 2+m con m entero y distinto de 0
Podemos ver que (2a-1)^2=4a^2+4a+1=2a(2a+2)+1 y con esto plantearemos la siguiente igualdad
\begin{eqnarray} 2^{2+m}+5=2a(2a+2)+1\\ 2^{2+m}=4a^2+4a-4\\ 2^{2+m}^2=a^2+a-1\\ 2^m=a^2+a-1\\ \end{eqnarray}
Vemos que el lado derecho es impar, ya que si a es par obtendremos par \cdot par+par-impar=par +impar=impar por otro lado si a es impar tenemos que impar \cdot impar +impar-impar=impar como sabemos que la única potencia de 2 impar es 2^0 y 2^m \neq 2^0 porque de ser así estaríamos en el caso anterior, tenemos que el único valor de n posible es 2

benjaquezadar

Problema 10:

En primer lugar notemos que el cuadrado perfecto [tex](k^2)[/tex] será un número impar, ya que una potencia de 2 es un número par y le añadimos un número impar, a menos que estemos en el caso específico de una potencia de [tex]2[/tex] impar, [tex]2^0[/tex], de ser así tendríamos que [tex]2^0+5=6=k^2[/tex] aquí podemos ver claramente que [tex]k[/tex] no es entero, por lo que nos enfocaremos en el primer caso planteado.

Ahora rescataremos los dos casos posible para [tex]n[/tex], [tex]n=2[/tex] o[tex]n>2[/tex] también definiremos que [tex]k^2=(2a+1)^2[/tex]

i)Aquí como [tex]n=2[/tex] tenemos que [tex]2^2+5=(2a+1)^2 \Leftrightarrow 9=(2a+1)^2[/tex] lo cual es cierto.

ii)Aquí como [tex]n>2[/tex] lo expresaremos como [tex]2+m[/tex] con [tex]m[/tex] entero y distinto de 0

Podemos ver que [tex](2a-1)^2=4a^2+4a+1=2a(2a+2)+1[/tex] y con esto plantearemos la siguiente igualdad

[tex]\begin{eqnarray}

2^{2+m}+5=2a(2a+2)+1\\

2^{2+m}=4a^2+4a-4\\

2^{2+m}^2=a^2+a-1\\

2^m=a^2+a-1\\

\end{eqnarray}[/tex]

Vemos que el lado izquierdo es impar, ya que si a es par obtendremos [tex]par \cdot par+par-impar=par +impar=impar[/tex] por otro lado si a es impar tenemos que [tex]impar \cdot impar +impar-impar=impar[/tex] como sabemos que la única potencia de [tex]2[/tex] impar es [tex]2^0[/tex] y [tex]2^m \neq 2^0[/tex] porque de ser así estaríamos en el caso anterior, tenemos que el único valor de [tex]n[/tex] posible es [tex]2[/tex]

[tex]\text{Está incompleta, por muuuuy poco. } ¿n>2\lor n=2?[/tex]

benjaquezadar

Problema 10:

En primer lugar notemos que el cuadrado perfecto [tex](k^2)[/tex] será un número impar, ya que una potencia de 2 es un número par y le añadimos un número impar, a menos que estemos en el caso específico de una potencia de [tex]2[/tex] impar, [tex]2^0[/tex], de ser así tendríamos que [tex]2^0+5=6=k^2[/tex] aquí podemos ver claramente que [tex]k[/tex] no es entero, por lo que nos enfocaremos en el primer caso planteado.

Ahora rescataremos los dos casos posible para [tex]n[/tex], [tex]0<n \leq 2 \vee n>2[/tex] también definiremos que [tex]k^2=(2a+1)^2[/tex]

i)Aquí tenemos [tex]n=1 \vee n=2[/tex] de lo que nos surge [tex]2^2+5=(2a+1)^2 \Leftrightarrow 9=(2a+1)^2[/tex] lo cual es cierto y [tex]2^1+5=(2a+1)^2 \Leftrightarrow 7=(2a+1)^2[/tex] lo que es un cuadrado, pero no perfecto, entonces no nos sirve.

ii)Aquí como [tex]n>2[/tex] lo expresaremos como [tex]2+m[/tex] con [tex]m[/tex] entero y distinto de 0

Podemos ver que [tex](2a-1)^2=4a^2+4a+1=2a(2a+2)+1[/tex] y con esto plantearemos la siguiente igualdad

[tex]\begin{eqnarray}

2^{2+m}+5=2a(2a+2)+1\\

2^{2+m}=4a^2+4a-4\\

2^{2+m}^2=a^2+a-1\\

2^m=a^2+a-1\\

\end{eqnarray}[/tex]

Vemos que el lado derecho es impar, ya que si a es par obtendremos [tex]par \cdot par+par-impar=par +impar=impar[/tex] por otro lado si a es impar tenemos que [tex]impar \cdot impar +impar-impar=impar[/tex] como sabemos que la única potencia de [tex]2[/tex] impar es [tex]2^0[/tex] y [tex]2^m \neq 2^0[/tex] porque de ser así estaríamos en el caso anterior, tenemos que el único valor de [tex]n[/tex] posible es [tex]2[/tex]

[tex]\text{Ahora sí, pero no sé si esé dentro del plazo uwu.}[/tex]

Edit (Pancracio): Sí, está en el plazo.

vicentecastillo

Problema 11:

En primer lugar notar que \#S=\#A_1+\#A_2-\#(A_1\cap A_2)=4008-\#(A_1\cap A_2) por lo que ahora buscamos la cantidad de elementos comunes de A_1 y A_2
A_1,4,7,10,13,16*,19,22,25,28,31,34,37*,40,43,46,49,52,55,58*,...
A_2,16*,23,30,37*,44,51,58*,...
Como podemos observar en A_1 tenemos en un principio un elemento común con A_2 a continuación de 5 términos, pero después existe una cantidad de elementos constante entre los elementos comunes, que corresponde a 6
Con esto ya podemos saber cuantos elementos comparten, para evitar confusiones omitiremos los 6 primeros números de A_1 (donde hay un elemento común), ahora buscamos cuantas veces se repite nuestro ciclo que en verdad es de 7 elementos (6 elementos y uno común con A_2) hasta el elemento 2004 y como 1998 dividido por 7 es 285 con resto 3, es decir comparten 1+285=286 elementos.
Finalmente \#S=4008-286=3722

benjaquezadar

Problema 11:

En primer lugar notar que [tex]\#S=\#A_1+\#A_2-\#(A_1\cap A_2)=4008-\#(A_1\cap A_2)[/tex] por lo que ahora buscamos la cantidad de elementos comunes de [tex]A_1[/tex] y [tex]A_2[/tex]

[tex]A_1,4,7,10,13,16*,19,22,25,28,31,34,37*,40,43,46,49,52,55,58*,...[/tex]

[tex]A_2,16*,23,30,37*,44,51,58*,...[/tex]

Como podemos observar en [tex]A_1[/tex] tenemos en un principio un elemento común con [tex]A_2[/tex] a continuación de [tex]5[/tex] términos, pero después existe una cantidad de elementos constante entre los elementos comunes, que corresponde a [tex]6[/tex]

Sea [tex]a_n \in A_1[/tex] y [tex]b_n \in A_2[/tex] se ve claro el hecho que [tex]a_n<b_n[/tex] por lo que buscaremos el máximo [tex]a_n[/tex] para así poder definir la cantidad de elementos comunes y puesto que [tex]a_n=a_1+(n-1)d[/tex] (con d como la constante que sumamos a un termino para obtener el siguiente) [tex]a_2004=1+(2004-1)3=6010[/tex]

Con esto ya podemos saber cuantos elementos comparten, para evitar confusiones omitiremos los 6 primeros números de [tex]A_1[/tex] (donde hay un elemento común) , ahora buscamos cuantas veces se repite nuestro ciclo que en verdad es de 7 elementos (6 elementos y uno común con [tex]A_2[/tex]) hasta el [tex]6010-5[/tex] y como [tex]6005[/tex] dividido por [tex]7[/tex] es [tex]857[/tex] con resto 6, es decir comparten [tex]1+857=858[/tex] elementos.

Finalmente [tex]\#S=4008-858=3150[/tex]

Está incorrecto.

benjaquezadar

Problema 11:

En primer lugar notar que [tex]\#S=\#A_1+\#A_2-\#(A_1\cap A_2)=4008-\#(A_1\cap A_2)[/tex] por lo que ahora buscamos la cantidad de elementos comunes de [tex]A_1[/tex] y [tex]A_2[/tex]

[tex]A_1,4,7,10,13,16*,19,22,25,28,31,34,37*,40,43,46,49,52,55,58*,...[/tex]

[tex]A_2,16*,23,30,37*,44,51,58*,...[/tex]

Como podemos observar en [tex]A_1[/tex] tenemos en un principio un elemento común con [tex]A_2[/tex] a continuación de [tex]5[/tex] términos, pero después existe una cantidad de elementos constante entre los elementos comunes, que corresponde a [tex]6[/tex]

Con esto ya podemos saber cuantos elementos comparten, para evitar confusiones omitiremos los [tex]6[/tex] primeros números de [tex]A_1[/tex] (donde hay un elemento común), ahora buscamos cuantas veces se repite nuestro ciclo que en verdad es de 7 elementos (6 elementos y uno común con [tex]A_2[/tex]) hasta el elemento [tex]2004[/tex] y como [tex]1998[/tex] dividido por [tex]7[/tex] es [tex]285[/tex] con resto 3, es decir comparten [tex]1+285=286[/tex] elementos.

Finalmente [tex]\#S=4008-286=3722[/tex]

Ahora sí!

vicentecastillo

Problema 11 (solución 2):

\#S=\#A_1+\#A_2-\#(A_1\cap A_2)=4008-\#(A_1\cap A_2)
Sea n \in A_1 será de la forma 1+3(n−1) y k \in A_2 será 9+7(k-1)

Entonces tenemos que encontrar todos los pares (n,k) naturales donde se cumple que 1+3(n−1)=9+7(k−1)

1+3(n−1)=9+7(n−1)
3n-7k=4
Notemos que por la identidad de Bézout podemos decir que ∃α,β∈Zα+7β=mcd(3,7)=1, donde una de sus soluciones puede ser α=−2,β=1, amplificando por 4 la igualdad obtenemos 3α′+7β′=4 con (α′,β′)=(4α,4β) y una solución en (4⋅−2,4⋅1),podemos ver que esta ecuación se parece mucho a lo que buscamos, si nos fijamos bien cuando α′=n y β′=−k, así obtenemos que una solución que sería (n,k)=(−8,−4), como sabemos que todas las soluciones enteras son de la forma n=n_1−7m,k=k_1−3m donde (n_1,k_1) es una solución, con esto llegamos a que

n= −8−7m
k=-4-3m

Ahora queremos que ambas ecuaciones sean menores a 2004, pues buscamos pares de números que comparten A_1 y A_2 cuando solo tomamos los primeros 2004 números de cada conjunto.

−8−7m<2004 \Rightarrow m>−669−\frac{1}{3}>−670 \Rightarrow m>−670

−4−3m<2004 \Rightarrow m>-287-\frac{3}{7}>-288 \Rightarrow m>-288

Ya que m debe cumplir ambas podemos tomar m >−288, pero además notemos que m≤−2 porque si no tendríamos indices negativos, lo que es falso, por lo tanto, la igualdad se cumple para todos los valores entre (−288,-2], los cuales son 288−2=286, cantidad que corresponde a los elementos comunes de A_1 y A_2, por lo que la cantidad total de elementos de S es4008-286=3722 elementos. UwU

vicentecastillo

Problema 12:

En primer lugar notemos que como todos saludan a una cantidad de personas distinta, y no a su pareja ni a ellos mismos, una persona puede haber dado la mano a una cantidad entre 0 y 8 personas.
Denotemos como p_k a quien saludo a otrask personas.

Si nos fijamos en p_8 podemos ver que saludo a todos, menos a si mismo y a su esposa, por lo tanto su esposa no saludo a nadie (es p_0), puesto que de no ser así debió saludar a p_8 lo que es imposible porque son pareja.
Siguiendo el razonamiento anterior podemos establecer que para que no lleguemos a que las ambos miembros de una pareja se saluden, alguien debe haber saludado a n personas y la otra a 8-n personas, de no ser así habrían tenido que ssludarse obligatoriamente y eso ni puede pasar. Es por esto que la pareja de p_7 debe ser p_1, la de p_6 es p_2 y la de p_5 es p_3.
De esto nos queda solo p_4 y Halmos, por lo que p_4 es la esposa, quien saludó a 4 persona.

ikelo

P13:
Notemos que para cumplir con la condición del enunciado, necesitamos como mínimo 3 leones( L ) ubicados entre los tigres( T ) de la siguiente forma:

T L T L T L T

De este modo nos sobrarían 2 leones que podemos colocar en cinco espacios( _ ):

_ TL _ TL _ TL _ T _

Como cada uno de los dos leones puede ir en 5 espacios, entonces por el principio multiplicativo hay 5 x 5 formas de ubicarlos.
En con conclusión, como debemos mantener a los cuatro tigres y a tres de los leones en cierto orden y los leones sobrantes pueden distribuir de 25 maneras, entonces el domador puede ordenar a las fieras de 25 formas.

benjaquezadar

P13:

Notemos que para cumplir con la condición del enunciado, necesitamos como mínimo 3 leones( L ) ubicados entre los tigres( T ) de la siguiente forma:

[center]T L[/b] T [b]L[/b] T [b]L T[/center]

De este modo nos sobrarían 2 leones que podemos colocar en cinco espacios( _ ):

[center]_[/b] TL [b] _ [/b] TL [b]_[/b] TL [b]_[/b] T [b]_[/center]

Como cada uno de los dos leones puede ir en 5 espacios, entonces por el principio multiplicativo hay 5 x 5 formas de ubicarlos.

En con conclusión, como debemos mantener a los cuatro tigres y a tres de los leones en cierto orden y los leones sobrantes pueden distribuir de 25 maneras, entonces el domador puede ordenar a las fieras de 25 formas.

Está incorrecto.

vicentecastillo

Problema 14:

Veamos que como puede disminuir en [tex]k[/tex], cualquier cantidad de los números que tiene en una movida, claro está que para llegar a [tex]0[/tex] en cada uno, la forma más rápida es restar el número [tex]k[/tex] a los [tex]2018[/tex] elementos por movida.

Podemos decir que todos estarán en 0 cuando el mayor de ellos lo esté, digamos sea [tex]n[/tex] el mayor número, la cantidad de movidas en la que podemos asegurar su victoria es la cantidad de veces que necesitamos restar [tex]k[/tex] a [tex]n[/tex] para obtener 0. De aquí llegamos a que nos basta con hacer las movidas necesarias para el menor múltiplo de [tex]k[/tex] mayor o igual que [tex]n[/tex], es decir [tex]\lceil{\frac{n}{k}}\rceil[/tex]

benjaquezadar

Problema 14:

Veamos que como puede disminuir en [tex]k[/tex], cualquier cantidad de los números que tiene en una movida, claro está que para llegar a [tex]0[/tex] en cada uno, la forma más rápida es restar el número [tex]k[/tex] a los [tex]2018[/tex] elementos por movida.

Podemos decir que todos estarán en 0 cuando el mayor de ellos lo esté, digamos sea [tex]n[/tex] el mayor número, la cantidad de movidas en la que podemos asegurar su victoria es la cantidad de veces que necesitamos restar [tex]k[/tex] a [tex]n[/tex] para obtener 0. De aquí llegamos a que nos basta con hacer las movidas necesarias para el menor múltiplo de [tex]k[/tex] mayor o igual que [tex]n[/tex], es decir [tex]\lceil{\frac{n}{k}}\rceil[/tex]

Está incorrecto.

pancracio

Hay una aclaración en el enunciado.

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