Concurso vacaciones

pancracio · 16 de Jul de 2018

<inserte introducción aquí> (con Macías no se nos ocurrió nada mejor)

Reglas:
[hide]Solo las personas que van a nivel menor en la academia pueden participar en este nivel.
Habrá un problema diario (por 2 semanas, por lo que serán 14 en total), que se subirá en este post alrededor del medio día. Cada problema tiene 24 horas para ser resuelto.
Las soluciones tienen que ser enviadas por este mismo post, marcando el número del problema.
Solo se le dará puntaje a soluciones completas y bien redactadas.
La primera persona en dar una solución completa tendrá 2 puntos, mientras las siguientes personas que den soluciones completas y distintas a las anteriores tendrán 1 punto.
benjaquezadar y Pancracio revisarán las soluciones, y postearán en caso de haber una completa.
Al finalizar las dos semanas, la persona con más puntos ganará un premio (por anunciar).[/hide]

Problemas anteriores (no dan puntaje)
[hide]Problema 1 (16/07): Se forma una lista de dígitos, escribiendo los naturales del 1 al 2018 uno a continuación del otro:

123456789101112 \dots 2015201620172018

¿Cuántas veces aparece la secuencia "12" en esta lista?

Problema 2 (17/07): Patricio escribe una lista de números. El primero es 25, y luego cada número es la suma de los cuadrados de los dígitos del anterior. ¿Qué número está en la posición 2018?

Problema 3 (18/07): Demuestre que todo triángulo se puede subdividir en triángulos isóceles.

Problema 4 (19/07): Encuentre todas las funciones

f : R \to R

tales que

f (x y) = f (x) + f (y)

para todos

x, y \in R

.

Problema 5 (20/07): En el 4° A, cada persona tiene a lo más 3 enemigos. Pruebe que se pueden separar a estas personas en dos grupos, de manera que cada persona tiene a lo más un enemigo en su grupo.
Nota: Si A es enemigo de B, entonces B es enemigo de A.

Problema 6 (21/07)

a_{1}, \dots, a_{n}

un reordenamiento de los números

1, \dots, n

. Pruebe que si

n

es impar, entonces el producto

(a_{1} - 1) (a_{2} - 2) \dots (a_{n} - n)

es par.

Problema 7 (22/07): Determine todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación:

2^{x} - 2^{y} = 1

Problema 8 (23/07): Demuestre que las expresiones

2 x + 3 y

,

9 x + 5 y

son ambas divisibles por

17

para los mismos valores enteros de

x

e

y

.

Problema 9 (24/07): Encuentre todos los pares de naturales

a, b

con

a < b

, tales que la suma de los naturales mayores que

a

y menores que

b

sea igual a

1998

.

Problema 10 (25/07): Determine todos los números naturales

n

para los cuales el número

2^{n} + 5

es un cuadrado perfecto.

Problema 11 (26/07): Sean

A_{1} = 1, 4, \dots

, y

A_{2} = 9, 16, \dots

dos progresiones aritméticas. Sea

S

el conjunto de los primeros

2004

términos de cada secuencia. ¿Cuántos números distintos hay en

S

?

Problema 12 (27/07): El matemático Paul Halmos y su esposa asistieron a una fiesta, junto con otras cuatro parejas. Algunas de las personas presentes se dieron la mano. Por supuesto que nadie se dio la mano a sí mismo, ni tampoco a su esposa o esposo, y ningún par de personas se dio la mano más de una vez. Halmos le preguntó a cada una de las otras nueve personas (incluida su esposa) cuántos apretones de mano habían dado, y le sorprendió que todas las respuestas fueron diferentes. ¿A cuántas personas le dio la mano la esposa de Halmos?

Problema 13 (28/07): Un domador quiere alinear 5 leones y 4 tigres. Sabiendo que un tigre no puede ir detrás de otro. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las fieras? (El domador no distingue un león de otro ni un tigre de otro tigre.)[/hide]

Problema 14 (29/07): Juan juega contra un computador. El computador elige 2018 naturales entre 1 y 10000. Juan en una movida puede restar un número natural

k

(que puede variar cada movida) a cualquier cantidad de los números que tiene. Juan gana cuando los 2018 números que tiene son 0. ¿En cuántas movidas se puede asegurar que Juan ganará?
(Plazo: Hasta medianoche del 30/07)

Puntajes
[hide]Vicente Castillo: 8
Zuny: 2[/hide]

vicentecastillo · 16 de Jul de 2018

Primero notar que en la lista podemos crear segmentos de la forma ABCD, ya que abarcamos en la lista la sucesion de numeros del 1 al 2018 donde este tiene 4 cifras, y por lo tanto las cifras de cada segmento pueden tomar los valores:

A:{0,1,2,...,8,9}#10 elementos

B:{0,1,2,...8,9} #10 elementos

C:{0,1,2,...8,9} #10 elementos

D:{0,1,2,...8,9} #10 elementos

Ademas el segmento puede tener las siguientes configuraciones dependiendo de la ubicacion de las cifras que conforman el 12: AB12, A12D Y 12CD.

Basados en la cardinalidad de los posibles valores de cada letra, definiremos por prinicipio multiplicativo la cantidad de casos que cumplen en cada configuracion

a)AB12

Aqui hay 10x10x1x1=100 posibilidades de numeros

b)A12D

Aqui hay 10x1x1x10=100 posibilidades

c)12CD

Aqui hay 1x1x10x10=100 posibilidades

Finalmente el total de los numeros 12 en la lista, es la suma de los casos favorables de cada configuracion, es decir, 100+100+100=300 casos

zuny · 16 de Jul de 2018

Notamos que en la secuencia presentada en el enunciado podemos visibilizar cinco formas en las que puede estar presente el segmento 12. Las detallaremos enseguida.

Sea

A BC

un segmento de tres cifras más amplio que el buscado, entonces, podemos encontrar de las siguientes maneras la susodicha secuencia:

A 12

, o,

12 C

. En los dos casos descritos, sea

A

o

C

pueden tomar desde el 0 hasta el 9 como valor, luego, por principio multiplicativo, el primer caso puede organizarse de

10 \cdot 1 \cdot 1

, y el segundo de

1 \cdot 1 \cdot 10

, luego, por principio aditivo, tenemos que las dos formas se pueden hacer de 20 maneras.

Sea

A BC D

un segmento de cuatro cifras más amplio que el buscado, entonces, podemos encontrar de las siguientes maneras la susodicha secuencia:

A B 12

,

A 12 D

, o

12 C D

. En el primer caso, debido a que la secuencia sólo llega hasta el 2018,

A

sólo puede tomar como valor 1 (si tomamos el intervalo del 1000 al 1999), mientras que

B

puede tomar como valor a todos los dígitos (10 en total), por lo tanto, por principio multiplicativo, esa organización se puede conformar de

1 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 1

maneras. Tenemos el caso en el que

A

toma el valor de 2, luego

B

se restringe a tomar como valor 0, luego, por principio multiplicativo, sólo hay un número que cumple esa condición. En el segundo caso,

A

puede tomar un valor, mientras que

D

puede tomar los 10 dígitos como valor, luego, por principio multiplicativo, nuevamente, esa organización se puede conformar de

1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 10

maneras.
En el último caso, donde 12 está en

A B

, los dos dígitos restantes,

C

y

D

, pueden tomar los 10 dígitos respectivamente como valor, luego, por principio multiplicativo, tenemos que esa organización se puede conformar de

10 \cdot 10

maneras.

Ahora que especificamos todos los casos, sólo nos queda sumar todas las opciones,

20 + 11 + 10 + 100

maneras, es decir, en total, la secuencia 12 aparece 141 veces en la secuencia principal, no obstante, esta cantidad sólo respecta a la situación en donde separamos la secuencia en sus respectivos números. Sin embargo, no incluye las situaciones en las cuales el segmento buscado está formado por los dígitos de dos números separables diferentes, como por ejemplo la secuencia 201202. Notamos entonces que para que se cumpla esta condición, en una configuración

A BC

,

A

tiene que ser 2, y

C

tiene que ser 1, mientras que

B

puede tomar como valor los 10 dígitos. Entonces, por principio multiplicativo, tenemos que hay

1 \cdot 10 \cdot 1

formas de hacer segmentos de ese tipo. De la forma

A BC D

, debemos, según el razonamiento anterior, tener la siguiente estructura

2 BC 1

, no obstante, debido a que la secuencia sólo llega a 2018,

B

sólo puede tomar el valor de 0, mientras que

C

puede tomar 0 o 1. Por consiguiente, sólo hay dos segmentos que nos permiten esa situación.
Del 1 al 99, no obstante, tenemos la secuencia 2122 que sí cumple, y también la del principio, que no se encuentra incluida en ninguna regla antes propuesta.

Finalmente, tomando las 141 veces anteriores, le sumamos las 14 nuevas veces, lo que nos resulta en 155 veces que se repite la secuencia 12 en la principal.

pancracio · 16 de Jul de 2018

Ambas soluciones están incompletas.

vicentecastillo · 17 de Jul de 2018

Problema 2:

Primero calcularé los primeros números de la secuencia

a_{1} = 25 a_{2} = 2^{2} + 5^{2} = 29 a_{3} = 2^{2} + 9^{2} = 85 a_{4} = 8^{2} + 5^{2} = 89 a_{5} = 8^{2} + 9^{2} = 145 a_{6} = 1^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 42

a_{7} = 4^{2} + 2^{2} = 20 a_{8} = 2^{2} + 0^{2} = 4 a_{9} = 4^{2} = 16 a_{10} = 1^{2} + 6^{2} = 37 a_{11} = 3^{2} + 7^{2} = 58 a_{12} = 5^{2} + 8^{2} = 89

a_{13} = 8^{2} + 9^{2} = 145 a_{14} = 1^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 42 a_{15} = 4^{2} + 2^{2} = 20 a_{16} = 2^{2} + 0^{2} = 2 ...

Aquí notamos que

a_{4} = a_{12} a_{5} = a_{13} a_{6} = a_{14} ...

, y también que entramos en un ciclo de 8 números:

89; 145; 42; 20; 4; 16; 37; 58

Como buscamos el número en el lugar 2018 de la secuencia y los tres primeros números (

25; 29; 85

) no entran en el ciclo, los vamos a omitir para evitar confusiones y ahora buscaremos el número en lugar 2015 (el que equivaldría al puesto 2018 en la secuencia original).

Nótese que

2015 \equiv 7 (m \overset{o}{ˊ} d 8)

lo que implica que el número que va en la posición buscada es el séptimo número del ciclo que mencionamos antes, es decir, el 37.

benjaquezadar · 17 de Jul de 2018

Está bien.

vicentecastillo · 18 de Jul de 2018

Problema 3:

Tenemos un

△ A BC

cualquiera, donde trazamos alguna de sus alturas, creando dos triángulos rectángulos.

Ahora si nos fijamos en uno de los triángulos rectángulos, podemos ver que si graficamos otro triángulo congruente a este sobre su hipotenusa, obtendremos un cuadrado o un rectángulo, trazando las diagonales del cuadrilátero formado, obtenemos 2 pares de triángulos isósceles (de los cuales dos triángulos pertenecerían al triángulo rectángulo original), ya que en cada uno de los triángulos dos de sus lados van a ser la mitad de alguna diagonal, porque en un cuadrado o en un rectángulo ambas diagonales son iguales; por esto es que si se forma un cuadrado obtendremos triángulos equiláteros, donde de igual forma llegaremos a triángulos isósceles si repetimos el proceso.

Con esto llegamos a que como todo triángulo rectángulo puede expresarse como triángulos isósceles y además todo triángulo puede expresarse como triángulos rectángulos, implica que todo triángulo puede ser subdividido en triángulos isósceles.

pancracio · 18 de Jul de 2018

Problema 3:

Tenemos un [tex]\bigtriangleup ABC[/tex] cualquiera, donde trazamos alguna de sus alturas, creando dos triángulos rectángulos.

Ahora si nos fijamos en uno de los triángulos rectángulos, podemos ver que si graficamos otro triángulo congruente a este sobre su hipotenusa, obtendremos un cuadrado o un rectángulo, trazando las diagonales del cuadrilátero formado, obtenemos 2 pares de triángulos isósceles (de los cuales dos triángulos pertenecerían al triángulo rectángulo original), ya que en cada uno de los triángulos dos de sus lados van a ser la mitad de alguna diagonal, porque en un cuadrado o en un rectángulo ambas diagonales son iguales; por esto es que si se forma un cuadrado obtendremos triángulos equiláteros, donde de igual forma llegaremos a triángulos isósceles si repetimos el proceso.

Con esto llegamos a que como todo triángulo rectángulo puede expresarse como triángulos isósceles y además todo triángulo puede expresarse como triángulos rectángulos, implica que todo triángulo puede ser subdividido en triángulos isósceles.

Con las diagonales en un cuadrado no se forman equilateros, pero la construcción está bien, por lo que la solución está bien

vicentecastillo · 19 de Jul de 2018

Problema 4:

Primero supongamos que

x = y = 1

luego

f (1 \cdot 1) = f (1) + f (1)

después

f (1) = 2 f (1) \Rightarrow f (1) = 0

(porque la única forma de que

z = 2 z

es que

z

sea 0) y en caso de que

x = y = - 1

obtenemos que

f (- 1 \cdot - 1) = f (- 1) + f (- 1)

luego

f (1) = 2 f (- 1)

finalmente

0 = 2 f (- 1) \Rightarrow f (- 1) = 0

Ahora si

y = - 1

llegamos a que

f (x \cdot - 1) = f (x) + f (- 1) \Rightarrow f (- x) = f (x)

es por esto que deducimos que la función se determina según lo que ocurre cuando las variables son positivas. Como trabajamos con

R

podemos expresar que

x = a^{b} y = a^{c}

Reemplazamos y llegamos a que

f (a^{b} \cdot a^{c}) = f (a^{b}) + f (a^{c})

si definimos una nueva función

h (b) = a^{b}

obtenemos

h (b + c) = h (b) + h (c)

Digamos que

h (1) = j

entonces si

b = c = 1

obtendremos

h (1 + 1) = h (1) + h (1)

a continuación

h (2) = 2 h (1) \Rightarrow h (2) = 2 j

Podemos conjeturar que

f (n) = nj

lo que demostraremos por inducción

Si tenemos

n = 1 : h (1) = j

supongamos que para

n = i : h (i) = ij

entonces para

n = i + 1

tal que

b = 1 c = 1 h (i + 1) = h (i) + h (1)

luego

h (i + 1) = ij + j = j (i + 1)

como queriamos demostrar.

Es por esto que todas las funciones que cumplen

h (b + c) = h (b) + h (c)

h (k) = kj

con

k \in N

f (x) = a^{b} = h (b) = bj

por lo que todas las funciones que cumplen con el enunciado son las de la forma

f (a) l o g_{x}

zuny · 19 de Jul de 2018

Problema 4:
Para resolver este problema debemos definir dos cosas con anticipación.

Sea el producto de dos números iguales elevados a potencias diferentes, es decir,

a^{x} \cdot a^{y}

, se sabe entonces, que el resultado de esta operación es

a^{x + y}

.

Notamos que los exponentes en esta fórmula se comportan de la misma manera que las variables

x

e

y

del enunciado (que el producto de ellos, sea igual a su suma). No obstante, vemos que estos exponentes no están por sí sólos en estas situaciones, por lo que para usarlos deberemos presentar la función logarítmica, la cual nos permite obtener el exponente si la expresamos de la siguiente manera:

lo g_{a} a^{x}

, lo que nos resultaría en

x

.

Basándonos en lo recién descrito, la función del enunciado es satisfecha por todas las funciones logarítmicas tales como las siguientes:

f (x) = lo g_{a} a^{x}

f (y) = lo g_{a} a^{y}

De la siguiente manera se relaciona con la función del enunciado:

lo g_{a} (x \cdot y) = lo g_{a} (x) + lo g_{a} (y)

.

pancracio · 20 de Jul de 2018

Ambas respuestas son incorrectas.

zuny · 20 de Jul de 2018

P5:
Sea

X

el conjunto que contiene a las personas que tienen a lo más 3 enemigos, y sea

A

,

B

,

C

y

D

integrantes de ese conjunto.

Supongamos la situación en la que todos los susodichos integrantes son enemigos entre sí.
Suprimiremos a todos los otros integrantes (aunque no sepamos cuántos son) con el objetivo de no confundirnos y debido a que estos no participan de la enemistad detallada en la suposición.
Expresemos por extensión el conjunto

X^{'}

, el cual contiene a nuestros cuatros integrantes luego de suprimir a los que no hacían parte de la relación interpersonal.

X^{'} = A, B, C, D

Notamos que, por enunciado, no se pueden mantener con esa organización pues no cumplen la condición de tener a lo más un enemigo en su grupo, no obstante, podemos organizarlos de la siguiente manera, siendo

Z

e

Y

los dos subconjuntos de

X^{'}

:

Z = A, B

Y = C, D

Notemos que esta configuración es válida pues en cada uno sólo hay un enemigo consigo para cada integrante de esta relación interpersonal. Pero notamos algo mucho más importante, que esta configuración sirve para cualquier número de enemigos que tenga personalmente cualquier integrante, pues en sí lo que importa es la cantidad de personas involucradas en la relación interpersonal, y como en el enunciado ya nos dan un límite superior (a lo más tres) sabemos que el máximo de personas involucradas en la relación de enemistad son 4.
No obstante, mostraremos que para cualquier cantidad de personas, bajo el máximo dado, se pueden organizar los integrantes de manera que se cumpla la condición necesaria del enunciado.

Supongamos que

A

tiene sólo dos enemigos,

B

y

C

, y que estos enemigos son enemigos entre sí (aunque no lo fueran, también se cumple la organización). Podemos notar que al ser 3 personas involucradas, y que basándonos en esto, podemos organizarlas de las siguiente maneras:

Z = A, B

Y = C

Notamos que es inherente al número de enemigos, pues, en esta situación, sólo tenemos que tener en cuenta que en

Z

hayan dos enemigos, o uno si es que en

Y

hay dos, y basándonos en esto, el resto en

Y

.

Es evidente que si sólo hay dos personas involucradas en la relación interpersonal, la organización puede ser cualquiera, pues si los dos enemigos quedan en el mismo grupo aún se cumple la condición.

Más evidente aún es que si la persona no es enemiga de nadie, puede estar incluida en cualquiera de los dos grupos pues no será afectada por ninguna enemistad externa.

De esta manera demostramos que basándonos en las cantidad de personas involucradas en la relación, se pueden separar las personas de manera que cada una quede con a lo más un enemigo consigo en el grupo.

pancracio · 21 de Jul de 2018

P5:

Sea [tex]X[/tex] el conjunto que contiene a las personas que tienen a lo más 3 enemigos, y sea [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] y [tex]D[/tex] integrantes de ese conjunto.

Supongamos la situación en la que todos los susodichos integrantes son enemigos entre sí.

Suprimiremos a todos los otros integrantes (aunque no sepamos cuántos son) con el objetivo de no confundirnos y debido a que estos no participan de la enemistad detallada en la suposición.

Expresemos por extensión el conjunto [tex]X'[/tex], el cual contiene a nuestros cuatros integrantes luego de suprimir a los que no hacían parte de la relación interpersonal.

[tex]X' ={A, B, C, D}[/tex]

Notamos que, por enunciado, no se pueden mantener con esa organización pues no cumplen la condición de tener a lo más un enemigo en su grupo, no obstante, podemos organizarlos de la siguiente manera, siendo [tex]Z[/tex] e [tex]Y[/tex] los dos subconjuntos de[tex]X'[/tex]:

[tex]Z = {A, B}[/tex]

[tex]Y = {C, D}[/tex]

Notemos que esta configuración es válida pues en cada uno sólo hay un enemigo consigo para cada integrante de esta relación interpersonal. Pero notamos algo mucho más importante, que esta configuración sirve para cualquier número de enemigos que tenga personalmente cualquier integrante, pues en sí lo que importa es la cantidad de personas involucradas en la relación interpersonal, y como en el enunciado ya nos dan un límite superior (a lo más tres) sabemos que el máximo de personas involucradas en la relación de enemistad son 4.

No obstante, mostraremos que para cualquier cantidad de personas, bajo el máximo dado, se pueden organizar los integrantes de manera que se cumpla la condición necesaria del enunciado.

Supongamos que [tex]A[/tex] tiene sólo dos enemigos, [tex]B[/tex] y [tex]C[/tex], y que estos enemigos son enemigos entre sí (aunque no lo fueran, también se cumple la organización). Podemos notar que al ser 3 personas involucradas, y que basándonos en esto, podemos organizarlas de las siguiente maneras:

[tex]Z = {A, B}[/tex]

[tex]Y = C[/tex]

Notamos que es inherente al número de enemigos, pues, en esta situación, sólo tenemos que tener en cuenta que en [tex]Z[/tex] hayan dos enemigos, o uno si es que en [tex]Y[/tex] hay dos, y basándonos en esto, el resto en [tex]Y[/tex].

Es evidente que si sólo hay dos personas involucradas en la relación interpersonal, la organización puede ser cualquiera, pues si los dos enemigos quedan en el mismo grupo aún se cumple la condición.

Más evidente aún es que si la persona no es enemiga de nadie, puede estar incluida en cualquiera de los dos grupos pues no será afectada por ninguna enemistad externa.

De esta manera demostramos que basándonos en las cantidad de personas involucradas en la relación, se pueden separar las personas de manera que cada una quede con a lo más un enemigo consigo en el grupo.

Está bien.

zuny · 21 de Jul de 2018

P6:

Para resolver el problema nos enfocaremos en el último factor de la secuencia de productos.

Si [tex]n[/tex] es impar, tenemos dos opciones. La primera es que [tex]a_n[/tex] tenga la misma paridad que [tex]n[/tex].

Basándonos en esto, se sabe por paridad que la suma de dos números de idéntica paridad tiene un resultado par, y que la resta es la suma de un número por otro negativo, podemos representar el último factor de la siguiente manera:

[tex]...(impar + (-impar))[/tex]

[tex]...(par)[/tex]

Al ocurrir esto, sabemos también por paridad que cualquier número, sea impar o par, multiplicado por un par resulta en un par, por lo tanto, al ser este último factor, par, el producto de toda la secuencia será par.

El segundo caso es que [tex]a_n[/tex] sea par, en ese caso el resultado de la resta será impar, no obstante, se sabe que existen, por principio multiplicativo, 4 formas en las que se puede encontrar la paridad de un factor de manera interna: par - par, impar - impar, par- impar, o impar - par. Como necesitamos otra configuración interna que resulte en impar, tenemos dos opciones -impar, o impar-par. Sabemos que existen al menos tres factores (el factor que incluye a 1, el factor que incluye a [tex]n[/tex], y el factor formado por un número entre ellos dos, cuya cantidad sólo podemos asegurar que es una) por lo que se puede deducir que hay más de alguno que comparte la paridad del último factor. Al tener la misma paridad, el resultado será par. Luego, por el mismo razonamiento anterior, el producto de toda la secuencia es par.

vicentecastillo · 21 de Jul de 2018

Problema 6:

Tenemos [tex](a_1-1)(a_2-2)...(a_n-n)[/tex] con [tex]n[/tex] impar, definiremos [tex]n=2k+1[/tex], de lo que podemos concluir que habrá [tex]k+1[/tex] impares y [tex]k[/tex] pares entre [tex]1[/tex] y [tex]n[/tex]

Como el producto final es la diferencia de algún número entre [tex]1[/tex] y [tex]n[/tex] con otro numero entre [tex]1[/tex]y [tex]n[/tex] teniendo en cuenta que hay un número par menos que impares, por palomar tenemos que siempre va a existir un caso en el que tengamos la diferencia entre dos números impares en algún factor, lo cual resulta en un par. Finalmente para que un producto sea par al menos uno de sus factores debe serlo y como en este caso siempre va a haber al menos un factor par, el producto siempre lo será.

pancracio · 22 de Jul de 2018

Problema 6:

Tenemos [tex](a_1-1)(a_2-2)...(a_n-n)[/tex] con [tex]n[/tex] impar, definiremos [tex]n=2k+1[/tex], de lo que podemos concluir que habrá [tex]k+1[/tex] impares y [tex]k[/tex] pares entre [tex]1[/tex] y [tex]n[/tex]

Como el producto final es la diferencia de algún número entre [tex]1[/tex] y [tex]n[/tex] con otro numero entre [tex]1[/tex]y [tex]n[/tex] teniendo en cuenta que hay un número par menos que impares, por palomar tenemos que siempre va a existir un caso en el que tengamos la diferencia entre dos números impares en algún factor, lo cual resulta en un par. Finalmente para que un producto sea par al menos uno de sus factores debe serlo y como en este caso siempre va a haber al menos un factor par, el producto siempre lo será.

Está bien.

P6:

Para resolver el problema nos enfocaremos en el último factor de la secuencia de productos.

Si [tex]n[/tex] es impar, tenemos dos opciones. La primera es que [tex]a_n[/tex] tenga la misma paridad que [tex]n[/tex].

Basándonos en esto, se sabe por paridad que la suma de dos números de idéntica paridad tiene un resultado par, y que la resta es la suma de un número por otro negativo, podemos representar el último factor de la siguiente manera:

[tex]...(impar + (-impar))[/tex]

[tex]...(par)[/tex]

Al ocurrir esto, sabemos también por paridad que cualquier número, sea impar o par, multiplicado por un par resulta en un par, por lo tanto, al ser este último factor, par, el producto de toda la secuencia será par.

El segundo caso es que [tex]a_n[/tex] sea par, en ese caso el resultado de la resta será impar, no obstante, se sabe que existen, por principio multiplicativo, 4 formas en las que se puede encontrar la paridad de un factor de manera interna: par - par, impar - impar, par- impar, o impar - par. Como necesitamos otra configuración interna que resulte en impar, tenemos dos opciones -impar, o impar-par. Sabemos que existen al menos tres factores (el factor que incluye a 1, el factor que incluye a [tex]n[/tex], y el factor formado por un número entre ellos dos, cuya cantidad sólo podemos asegurar que es una) por lo que se puede deducir que hay más de alguno que comparte la paridad del último factor. Al tener la misma paridad, el resultado será par. Luego, por el mismo razonamiento anterior, el producto de toda la secuencia es par.

Esta está incompleta.

zuny · 22 de Jul de 2018

P7:

Se sabe de antemano que si la diferencia de dos números es 1 es porque estos números son consecutivos, y que si es positiva el minuendo es mayor que el sustraendo.

Vemos las 3 primeras potencias de 2.
Para

2^{0}

= 1, para

2^{1}

= 2, para

2^{2}

= 4, para

2^{3}

= 8.

Notamos que sólo hay dos potencias consecutivas, pues luego las valores tienen una diferencia del doble.
De esta manera podemos deducir que la única respuesta es que

x = 1

e

y = 0

, pues son las únicas potencias cuyos resultados son consecutivos, y de esta manera tenemos lo siguiente:

2^{1} - 2^{0}

2 - 1

1

Cuyo par de valores de exponente es el único que satisface la igualdad.

vicentecastillo · 22 de Jul de 2018

Problema 7:

En primer lugar, su diferencia es

1

por lo que son consecutivos.
Podemos asegurar que sus exponentes deben ser consecutivos, porque sino la diferencia mínima sería

2^{2} - 2^{0} = 3

lo que es mayor que 1 (Tanto la potencia en sí como los exponentes son números consecutivos).

Ahora definamos:

x - y = 1

2^{x} = a 2^{y} = a - 1

l o g_{2} a - l o g_{2} (a - 1) = 1 \Leftrightarrow l o g_{2} (\frac{a}{a - 1}) = 1 \Rightarrow 2^{1} = \frac{a}{a - 1} \Leftrightarrow 2 (a - 1) = a 2 a - 2 = a a = 2 \Rightarrow x = 1

Finalmente tenemos que

2 - 2^{y} = 1 2^{y} = 1 \Rightarrow y = 0

es decir el par de números que cumple es

x = 1 y = 0

pancracio · 23 de Jul de 2018

P7:

Se sabe de antemano que si la diferencia de dos números es 1 es porque estos números son consecutivos, y que si es positiva el minuendo es mayor que el sustraendo.

Vemos las 3 primeras potencias de 2.

Para [tex]2^0[/tex] = 1, para [tex]2^1[/tex] = 2, para [tex]2^2[/tex] = 4, para [tex]2^3[/tex] = 8.

Notamos que sólo hay dos potencias consecutivas, pues luego las valores tienen una diferencia del doble.

De esta manera podemos deducir que la única respuesta es que [tex]x= 1[/tex] e [tex]y = 0[/tex], pues son las únicas potencias cuyos resultados son consecutivos, y de esta manera tenemos lo siguiente:

[tex]2^1 - 2^0[/tex]

[tex]2 - 1[/tex]

[tex]1[/tex]

Cuyo par de valores de exponente es el único que satisface la igualdad.

Está incompleto.

Problema 7:

Puesto que su diferencia es [tex]1[/tex] definamos

Sea [tex]2^x=a \quad 2^y=a-1[/tex]

Ahora reemplazamos en la ecuación del enunciado y obtenemos [tex]log_2a-log_2(a-1)=1 \Leftrightarrow log_2(\frac{a}{a-1})=1 \Rightarrow 2^1=\frac{a}{a-1} \Leftrightarrow 2(a-1)=a \quad 2a-2=a \quad a=2 \Rightarrow x=1[/tex]

Finalmente tenemos que [tex]2-2^y=1 \quad 2^y=1 \Rightarrow y=0[/tex] es decir el par de números que cumple es [tex]x=1 \quad y=0[/tex]

Está mal planteado

zuny · 26 de Jul de 2018

P10:
Definimos primeramente que un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero.
De la expresión del enunciado podemos deducir dos condiciones: la primera se refiere a que el cuadrado perfecto resultante debe ser impar, pues el cuadrado de un número par (

2^{n}

) es par y al ser aumentado en un número impar resulta en un impar.
La segunda se deduce de lo siguiente.
Sea

a

el cuadrado perfecto resultante, tenemos lo siguiente:

2^{n} + 5 = a / + (- 5)

2^{n} = a - 5

Lo anterior se traduce en que si disminuimos en 5 el cuadrado perfecto final nos resultará en una potencia del número dos, en otras palabras, que la distancia entre este cuadrado perfecto final y la potencia de 2 es de 5 números.
Mediante el uso de la fórmula para encontrar los cuadrados perfectos siguientes a uno dado (Sea

x

el cuadrado perfecto dado, el cuadrado perfecto consecutivo se obtendrá mediante lo siguiente,

x + ((2 *

la raíz del siguiente cuadrado perfecto

) - 1)

. Sabemos que el cuadrado perfecto dado debe ser una potencia del número 2, no obstante,

((2 *

la raíz del siguiente cuadrado perfecto

) - 1)

debe ser igual a 5, pues esta expresión se refiere a básicamente la distancia entre los dos cuadrados perfectos. Sabemos que todo número tiene exactamente un cuadrado perfecto, y que como primer cuadrado debemos tomar una potencia de dos. Probaremos con el cuadrado perfecto del número 2, siendo la raíz del cuadrado siguiente el número consecutivo a la raíz del cuadrado perfecto que acabamos de usar. Por consiguiente tenemos lo siguiente:

4 + (2 * 3) - 1

4 + 5

9

Debido al resultado de la expresión (cumple las dos condiciones indicadas al principio) tenemos que

n = 2

(el exponente del al que hay que elevar el número) satisface la expresión.

Dijimos anteriormente que cada número tiene sólamente un cuadrado perfecto, por lo tanto, el resultado de la expresión que debe dar 5 es única pues la raíz cuadrada del cuadrado perfecto recién probado es también es única.
De esta manera, no hay otro número que nos permita obtener una distancia de 5 números entre los dos cuadrados perfectos, es decir, la expresión sólo se satisface cuando

n = 2

benjaquezadar · 26 de Jul de 2018

P10:

Definimos primeramente que un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero.

De la expresión del enunciado podemos deducir dos condiciones: la primera se refiere a que el cuadrado perfecto resultante debe ser impar, pues el cuadrado de un número par ([tex]2^n[/tex]) es par y al ser aumentado en un número impar resulta en un impar.

La segunda se deduce de lo siguiente.

Sea [tex]a[/tex] el cuadrado perfecto resultante, tenemos lo siguiente:

[tex]2^n + 5 = a / +(-5)[/tex]

[tex]2^n = a - 5[/tex]

Lo anterior se traduce en que si disminuimos en 5 el cuadrado perfecto final nos resultará en una potencia del número dos, en otras palabras, que la distancia entre este cuadrado perfecto final y la potencia de 2 es de 5 números.

Mediante el uso de la fórmula para encontrar los cuadrados perfectos siguientes a uno dado (Sea [tex]x[/tex] el cuadrado perfecto dado, el cuadrado perfecto consecutivo se obtendrá mediante lo siguiente, [tex]x+ ((2*[/tex] la raíz del siguiente cuadrado perfecto[tex]) -1)[/tex]. Sabemos que el cuadrado perfecto dado debe ser una potencia del número 2, no obstante, [tex]((2*[/tex] la raíz del siguiente cuadrado perfecto[tex]) -1)[/tex] debe ser igual a 5, pues esta expresión se refiere a básicamente la distancia entre los dos cuadrados perfectos. Sabemos que todo número tiene exactamente un cuadrado perfecto, y que como primer cuadrado debemos tomar una potencia de dos. Probaremos con el cuadrado perfecto del número 2, siendo la raíz del cuadrado siguiente el número consecutivo a la raíz del cuadrado perfecto que acabamos de usar. Por consiguiente tenemos lo siguiente:

[tex]4 + (2*3)-1[/tex]

[tex]4 + 5[/tex]

[tex]9[/tex]

Debido al resultado de la expresión (cumple las dos condiciones indicadas al principio) tenemos que [tex]n = 2[/tex] (el exponente del al que hay que elevar el número) satisface la expresión.

Dijimos anteriormente que cada número tiene sólamente un cuadrado perfecto, por lo tanto, el resultado de la expresión que debe dar 5 es única pues la raíz cuadrada del cuadrado perfecto recién probado es también es única.

De esta manera, no hay otro número que nos permita obtener una distancia de 5 números entre los dos cuadrados perfectos, es decir, la expresión sólo se satisface cuando [tex]n = 2[/tex]

Está incompleto, saludos.

vicentecastillo · 26 de Jul de 2018

Problema 10:

En primer lugar notemos que el cuadrado perfecto

(k^{2})

será un número impar, ya que una potencia de 2 es un número par y le añadimos un número impar, a menos que estemos en el caso específico de una potencia de

2

impar,

2^{0}

, de ser así tendríamos que

2^{0} + 5 = 6 = k^{2}

aquí podemos ver claramente que

k

no es entero, por lo que nos enfocaremos en el primer caso planteado.

Ahora rescataremos los dos casos posible para

n

,

0 < n \leq 2 \lor n > 2

también definiremos que

k^{2} = (2 a + 1)^{2}

i)Aquí tenemos

n = 1 \lor n = 2

de lo que nos surge

2^{2} + 5 = (2 a + 1)^{2} \Leftrightarrow 9 = (2 a + 1)^{2}

lo cual es cierto y

2^{1} + 5 = (2 a + 1)^{2} \Leftrightarrow 7 = (2 a + 1)^{2}

lo que es un cuadrado, pero no perfecto, entonces no nos sirve.
ii)Aquí como

n > 2

lo expresaremos como

2 + m

con

m

entero y distinto de 0
Podemos ver que

(2 a - 1)^{2} = 4 a^{2} + 4 a + 1 = 2 a (2 a + 2) + 1

y con esto plantearemos la siguiente igualdad

\begin{eqnarray} 2^{2+m}+5=2a(2a+2)+1\\ 2^{2+m}=4a^2+4a-4\\ 2^{2+m}^2=a^2+a-1\\ 2^m=a^2+a-1\\ \end{eqnarray}

Vemos que el lado derecho es impar, ya que si a es par obtendremos

p a r \cdot p a r + p a r - im p a r = p a r + im p a r = im p a r

por otro lado si a es impar tenemos que

im p a r \cdot im p a r + im p a r - im p a r = im p a r

como sabemos que la única potencia de

2

impar es

2^{0}

y

2^{m} \neq = 2^{0}

porque de ser así estaríamos en el caso anterior, tenemos que el único valor de

n

posible es

2

benjaquezadar · 26 de Jul de 2018

Problema 10:

En primer lugar notemos que el cuadrado perfecto [tex](k^2)[/tex] será un número impar, ya que una potencia de 2 es un número par y le añadimos un número impar, a menos que estemos en el caso específico de una potencia de [tex]2[/tex] impar, [tex]2^0[/tex], de ser así tendríamos que [tex]2^0+5=6=k^2[/tex] aquí podemos ver claramente que [tex]k[/tex] no es entero, por lo que nos enfocaremos en el primer caso planteado.

Ahora rescataremos los dos casos posible para [tex]n[/tex], [tex]n=2[/tex] o[tex]n>2[/tex] también definiremos que [tex]k^2=(2a+1)^2[/tex]

i)Aquí como [tex]n=2[/tex] tenemos que [tex]2^2+5=(2a+1)^2 \Leftrightarrow 9=(2a+1)^2[/tex] lo cual es cierto.

ii)Aquí como [tex]n>2[/tex] lo expresaremos como [tex]2+m[/tex] con [tex]m[/tex] entero y distinto de 0

Podemos ver que [tex](2a-1)^2=4a^2+4a+1=2a(2a+2)+1[/tex] y con esto plantearemos la siguiente igualdad

[tex]\begin{eqnarray}

2^{2+m}+5=2a(2a+2)+1\\

2^{2+m}=4a^2+4a-4\\

2^{2+m}^2=a^2+a-1\\

2^m=a^2+a-1\\

\end{eqnarray}[/tex]

Vemos que el lado izquierdo es impar, ya que si a es par obtendremos [tex]par \cdot par+par-impar=par +impar=impar[/tex] por otro lado si a es impar tenemos que [tex]impar \cdot impar +impar-impar=impar[/tex] como sabemos que la única potencia de [tex]2[/tex] impar es [tex]2^0[/tex] y [tex]2^m \neq 2^0[/tex] porque de ser así estaríamos en el caso anterior, tenemos que el único valor de [tex]n[/tex] posible es [tex]2[/tex]

[tex]\text{Está incompleta, por muuuuy poco. } ¿n>2\lor n=2?[/tex]

benjaquezadar · 26 de Jul de 2018

Problema 10:

En primer lugar notemos que el cuadrado perfecto [tex](k^2)[/tex] será un número impar, ya que una potencia de 2 es un número par y le añadimos un número impar, a menos que estemos en el caso específico de una potencia de [tex]2[/tex] impar, [tex]2^0[/tex], de ser así tendríamos que [tex]2^0+5=6=k^2[/tex] aquí podemos ver claramente que [tex]k[/tex] no es entero, por lo que nos enfocaremos en el primer caso planteado.

Ahora rescataremos los dos casos posible para [tex]n[/tex], [tex]0<n \leq 2 \vee n>2[/tex] también definiremos que [tex]k^2=(2a+1)^2[/tex]

i)Aquí tenemos [tex]n=1 \vee n=2[/tex] de lo que nos surge [tex]2^2+5=(2a+1)^2 \Leftrightarrow 9=(2a+1)^2[/tex] lo cual es cierto y [tex]2^1+5=(2a+1)^2 \Leftrightarrow 7=(2a+1)^2[/tex] lo que es un cuadrado, pero no perfecto, entonces no nos sirve.

ii)Aquí como [tex]n>2[/tex] lo expresaremos como [tex]2+m[/tex] con [tex]m[/tex] entero y distinto de 0

Podemos ver que [tex](2a-1)^2=4a^2+4a+1=2a(2a+2)+1[/tex] y con esto plantearemos la siguiente igualdad

[tex]\begin{eqnarray}

2^{2+m}+5=2a(2a+2)+1\\

2^{2+m}=4a^2+4a-4\\

2^{2+m}^2=a^2+a-1\\

2^m=a^2+a-1\\

\end{eqnarray}[/tex]

Vemos que el lado derecho es impar, ya que si a es par obtendremos [tex]par \cdot par+par-impar=par +impar=impar[/tex] por otro lado si a es impar tenemos que [tex]impar \cdot impar +impar-impar=impar[/tex] como sabemos que la única potencia de [tex]2[/tex] impar es [tex]2^0[/tex] y [tex]2^m \neq 2^0[/tex] porque de ser así estaríamos en el caso anterior, tenemos que el único valor de [tex]n[/tex] posible es [tex]2[/tex]

[tex]\text{Ahora sí, pero no sé si esé dentro del plazo uwu.}[/tex]

Edit (Pancracio): Sí, está en el plazo.

vicentecastillo · 26 de Jul de 2018

Problema 11:

En primer lugar notar que

# S = # A_{1} + # A_{2} - # (A_{1} \cap A_{2}) = 4008 - # (A_{1} \cap A_{2})

por lo que ahora buscamos la cantidad de elementos comunes de

A_{1}

y

A_{2}

A_{1}, 4, 7, 10, 13, 16 *, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37 *, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58 *, ...

A_{2}, 16 *, 23, 30, 37 *, 44, 51, 58 *, ...

Como podemos observar en

A_{1}

tenemos en un principio un elemento común con

A_{2}

a continuación de

5

términos, pero después existe una cantidad de elementos constante entre los elementos comunes, que corresponde a

6

Con esto ya podemos saber cuantos elementos comparten, para evitar confusiones omitiremos los

6

primeros números de

A_{1}

(donde hay un elemento común), ahora buscamos cuantas veces se repite nuestro ciclo que en verdad es de 7 elementos (6 elementos y uno común con

A_{2}

) hasta el elemento

2004

y como

1998

dividido por

7

es

285

con resto 3, es decir comparten

1 + 285 = 286

elementos.
Finalmente

# S = 4008 - 286 = 3722

benjaquezadar · 26 de Jul de 2018

Problema 11:

En primer lugar notar que [tex]\#S=\#A_1+\#A_2-\#(A_1\cap A_2)=4008-\#(A_1\cap A_2)[/tex] por lo que ahora buscamos la cantidad de elementos comunes de [tex]A_1[/tex] y [tex]A_2[/tex]

[tex]A_1,4,7,10,13,16*,19,22,25,28,31,34,37*,40,43,46,49,52,55,58*,...[/tex]

[tex]A_2,16*,23,30,37*,44,51,58*,...[/tex]

Como podemos observar en [tex]A_1[/tex] tenemos en un principio un elemento común con [tex]A_2[/tex] a continuación de [tex]5[/tex] términos, pero después existe una cantidad de elementos constante entre los elementos comunes, que corresponde a [tex]6[/tex]

Sea [tex]a_n \in A_1[/tex] y [tex]b_n \in A_2[/tex] se ve claro el hecho que [tex]a_n<b_n[/tex] por lo que buscaremos el máximo [tex]a_n[/tex] para así poder definir la cantidad de elementos comunes y puesto que [tex]a_n=a_1+(n-1)d[/tex] (con d como la constante que sumamos a un termino para obtener el siguiente) [tex]a_2004=1+(2004-1)3=6010[/tex]

Con esto ya podemos saber cuantos elementos comparten, para evitar confusiones omitiremos los 6 primeros números de [tex]A_1[/tex] (donde hay un elemento común) , ahora buscamos cuantas veces se repite nuestro ciclo que en verdad es de 7 elementos (6 elementos y uno común con [tex]A_2[/tex]) hasta el [tex]6010-5[/tex] y como [tex]6005[/tex] dividido por [tex]7[/tex] es [tex]857[/tex] con resto 6, es decir comparten [tex]1+857=858[/tex] elementos.

Finalmente [tex]\#S=4008-858=3150[/tex]

Está incorrecto.

benjaquezadar · 26 de Jul de 2018

Problema 11:

En primer lugar notar que [tex]\#S=\#A_1+\#A_2-\#(A_1\cap A_2)=4008-\#(A_1\cap A_2)[/tex] por lo que ahora buscamos la cantidad de elementos comunes de [tex]A_1[/tex] y [tex]A_2[/tex]

[tex]A_1,4,7,10,13,16*,19,22,25,28,31,34,37*,40,43,46,49,52,55,58*,...[/tex]

[tex]A_2,16*,23,30,37*,44,51,58*,...[/tex]

Como podemos observar en [tex]A_1[/tex] tenemos en un principio un elemento común con [tex]A_2[/tex] a continuación de [tex]5[/tex] términos, pero después existe una cantidad de elementos constante entre los elementos comunes, que corresponde a [tex]6[/tex]

Con esto ya podemos saber cuantos elementos comparten, para evitar confusiones omitiremos los [tex]6[/tex] primeros números de [tex]A_1[/tex] (donde hay un elemento común), ahora buscamos cuantas veces se repite nuestro ciclo que en verdad es de 7 elementos (6 elementos y uno común con [tex]A_2[/tex]) hasta el elemento [tex]2004[/tex] y como [tex]1998[/tex] dividido por [tex]7[/tex] es [tex]285[/tex] con resto 3, es decir comparten [tex]1+285=286[/tex] elementos.

Finalmente [tex]\#S=4008-286=3722[/tex]

Ahora sí!

vicentecastillo · 26 de Jul de 2018

Problema 11 (solución 2):

# S = # A_{1} + # A_{2} - # (A_{1} \cap A_{2}) = 4008 - # (A_{1} \cap A_{2})

Sea

n \in A_{1}

será de la forma

1 + 3 (n -1)

y

k \in A_{2}

será

9 + 7 (k - 1)

Entonces tenemos que encontrar todos los pares (n,k) naturales donde se cumple que

1 + 3 (n -1) = 9 + 7 (k -1)

1 + 3 (n -1) = 9 + 7 (n -1)

3 n - 7 k = 4

Notemos que por la identidad de Bézout podemos decir que

\exists α, β \in Z α + 7 β = m c d (3, 7) = 1

, donde una de sus soluciones puede ser

α = -2, β = 1

, amplificando por

4

la igualdad obtenemos

3 α' + 7 β' = 4

con

(α', β') = (4 α, 4 β)

y una solución en

(4 \cdot -2, 4 \cdot 1)

,podemos ver que esta ecuación se parece mucho a lo que buscamos, si nos fijamos bien cuando

α' = n

y

β' = - k

, así obtenemos que una solución que sería

(n, k) = (-8, -4)

, como sabemos que todas las soluciones enteras son de la forma

n = n_{1} -7 m, k = k_{1} -3 m

donde

(n_{1}, k_{1})

es una solución, con esto llegamos a que

n = -8-7 m

k = - 4 - 3 m

Ahora queremos que ambas ecuaciones sean menores a

2004

, pues buscamos pares de números que comparten

A_{1}

y

A_{2}

cuando solo tomamos los primeros

2004

números de cada conjunto.

-8-7 m < 2004 \Rightarrow m > -669- \frac{1}{3} > -670 \Rightarrow m > -670

-4-3 m < 2004 \Rightarrow m > - 287 - \frac{3}{7} > - 288 \Rightarrow m > - 288

Ya que

m

debe cumplir ambas podemos tomar

m > -288

, pero además notemos que

m \leq -2

porque si no tendríamos indices negativos, lo que es falso, por lo tanto, la igualdad se cumple para todos los valores entre

(-288, - 2]

, los cuales son

288-2 = 286

, cantidad que corresponde a los elementos comunes de

A_{1}

y

A_{2}

, por lo que la cantidad total de elementos de

S

es

4008 - 286 = 3722

elementos. UwU

vicentecastillo · 27 de Jul de 2018

Problema 12:

En primer lugar notemos que como todos saludan a una cantidad de personas distinta, y no a su pareja ni a ellos mismos, una persona puede haber dado la mano a una cantidad entre

0

y

8

personas.
Denotemos como

p_{k}

a quien saludo a otras

k

personas.

Si nos fijamos en

p_{8}

podemos ver que saludo a todos, menos a si mismo y a su esposa, por lo tanto su esposa no saludo a nadie (es

p_{0}

), puesto que de no ser así debió saludar a

p_{8}

lo que es imposible porque son pareja.
Siguiendo el razonamiento anterior podemos establecer que para que no lleguemos a que las ambos miembros de una pareja se saluden, alguien debe haber saludado a

n

personas y la otra a

8 - n

personas, de no ser así habrían tenido que ssludarse obligatoriamente y eso ni puede pasar. Es por esto que la pareja de

p_{7}

debe ser

p_{1}

, la de

p_{6}

es

p_{2}

y la de

p_{5}

es

p_{3}

.
De esto nos queda solo

p_{4}

y Halmos, por lo que

p_{4}

es la esposa, quien saludó a 4 persona.

ikelo · 28 de Jul de 2018

P13:
Notemos que para cumplir con la condición del enunciado, necesitamos como mínimo 3 leones( L ) ubicados entre los tigres( T ) de la siguiente forma:

T L T L T L T

De este modo nos sobrarían 2 leones que podemos colocar en cinco espacios( _ ):

_ TL _ TL _ TL _ T _

Como cada uno de los dos leones puede ir en 5 espacios, entonces por el principio multiplicativo hay 5 x 5 formas de ubicarlos.
En con conclusión, como debemos mantener a los cuatro tigres y a tres de los leones en cierto orden y los leones sobrantes pueden distribuir de 25 maneras, entonces el domador puede ordenar a las fieras de 25 formas.

benjaquezadar · 29 de Jul de 2018

P13:

Notemos que para cumplir con la condición del enunciado, necesitamos como mínimo 3 leones( L ) ubicados entre los tigres( T ) de la siguiente forma:

[center]T L[/b] T [b]L[/b] T [b]L T[/center]

De este modo nos sobrarían 2 leones que podemos colocar en cinco espacios( _ ):

[center]_[/b] TL [b] _ [/b] TL [b]_[/b] TL [b]_[/b] T [b]_[/center]

Como cada uno de los dos leones puede ir en 5 espacios, entonces por el principio multiplicativo hay 5 x 5 formas de ubicarlos.

En con conclusión, como debemos mantener a los cuatro tigres y a tres de los leones en cierto orden y los leones sobrantes pueden distribuir de 25 maneras, entonces el domador puede ordenar a las fieras de 25 formas.

Está incorrecto.

vicentecastillo · 29 de Jul de 2018

Problema 14:

Veamos que como puede disminuir en [tex]k[/tex], cualquier cantidad de los números que tiene en una movida, claro está que para llegar a [tex]0[/tex] en cada uno, la forma más rápida es restar el número [tex]k[/tex] a los [tex]2018[/tex] elementos por movida.

Podemos decir que todos estarán en 0 cuando el mayor de ellos lo esté, digamos sea [tex]n[/tex] el mayor número, la cantidad de movidas en la que podemos asegurar su victoria es la cantidad de veces que necesitamos restar [tex]k[/tex] a [tex]n[/tex] para obtener 0. De aquí llegamos a que nos basta con hacer las movidas necesarias para el menor múltiplo de [tex]k[/tex] mayor o igual que [tex]n[/tex], es decir [tex]\lceil{\frac{n}{k}}\rceil[/tex]

benjaquezadar · 29 de Jul de 2018

Problema 14:

Veamos que como puede disminuir en [tex]k[/tex], cualquier cantidad de los números que tiene en una movida, claro está que para llegar a [tex]0[/tex] en cada uno, la forma más rápida es restar el número [tex]k[/tex] a los [tex]2018[/tex] elementos por movida.

Podemos decir que todos estarán en 0 cuando el mayor de ellos lo esté, digamos sea [tex]n[/tex] el mayor número, la cantidad de movidas en la que podemos asegurar su victoria es la cantidad de veces que necesitamos restar [tex]k[/tex] a [tex]n[/tex] para obtener 0. De aquí llegamos a que nos basta con hacer las movidas necesarias para el menor múltiplo de [tex]k[/tex] mayor o igual que [tex]n[/tex], es decir [tex]\lceil{\frac{n}{k}}\rceil[/tex]

Está incorrecto.

pancracio · 29 de Jul de 2018

Hay una aclaración en el enunciado.

Concurso vacaciones

Ppancracio

Vvicentecastillo

Zzuny

Ppancracio

Vvicentecastillo

Bbenjaquezadar

Vvicentecastillo

Ppancracio

Vvicentecastillo

Zzuny

Ppancracio

Zzuny

Ppancracio

Zzuny

Vvicentecastillo

Ppancracio

Zzuny

Vvicentecastillo

Ppancracio

Zzuny

Bbenjaquezadar

Vvicentecastillo

Bbenjaquezadar

Bbenjaquezadar

Vvicentecastillo

Bbenjaquezadar

Bbenjaquezadar

Vvicentecastillo

Vvicentecastillo

Iikelo

Bbenjaquezadar

Vvicentecastillo

Bbenjaquezadar

Ppancracio